第三讲 平面曲线的弧长
定积分及其应用 第三讲 平面曲线的弧长
定积分及其应用 二、平面曲线的弧长 设曲线弧为y=f(x)(a≤x≤b),其中 f(x)在[a,b]上有一阶连续导数 取x为积分变量，在[a,b]上任取小区间 [x,x+dx],以对应小切线段的长代替 小弧段的长。 小切线段的长： xx+dx b V(dx)2+(dy)2=/1+y'2dx 孤长元素：ds=V√1+y2dx 弧长：s=V1+y2dx
定积分及其应用 二、平面曲线的弧长 小切线段的长： 弧长元素： 弧长： ᵄ ᵄ ᵆ ᵅᵆ ᵆ ᵆ ᵄ
定积分及其应用 拳例 求曲线y-号号上：e1a,bD的一段的长度 解：y=x2,由弧长公式 s=v1+xdx =V1+xdx+1) =x+1)b =[(b+1)2-(a+1)
定积分及其应用 举 例 ＜一＞ 解:
定积分及其应用 (2)设曲线弧由参数方程 给出，其中p(t),ψ(t)在[，B]上具有连续导数，且p'(t),ψ(t) 不同时为零。现在来计算这曲线弧的长度。 ds=V(dx)2+(dy)2=V(p'(t)2+('(t)2dt s=v(p'@2+w©d (3)设曲线弧由极坐标方程 (x =p(0)cos0 y=p(a)sin9la≤8≤B) s=["\(p()Oae
定积分及其应用 (2)设曲线弧由参数方程 不同时为零。现在来计算这曲线弧的长度。 (3)设曲线弧由极坐标方程
定积分及其应用 举例 求摆线 -8-0的-0s0≤2)的长度 1-c0s0) 解： =a(1-c0s0) y'asin0 2π S= a/2(1-cos0)de 、2π 1 2asin 0 =8a
定积分及其应用 举 例 ＜二＞ 解: = 8ᵄ
定积分及其应用 举例 求阿基米德螺线p=a0(a>0)的一段孤（0≤0≤2π)的长度。 解： -oys 循环积分 2aTT S"(a0)2+a2d0 af2"V02 1d0 -alovd0 =a2xv1+4n2+4ad0-v02+1d8] =a[πV1+4π2-ln(2π+V1+4π2)]
定积分及其应用 举 例 <三＞ 解: 循环积分
定积分及其应用 课堂小结 1.曲线弧长的计算 s=1+y严d s-"X+Fat s-"p(ao
定积分及其应用 1.曲线弧长的计算 课 堂 小 结