第二讲 直接积分法
第二讲 直接积分法
不定积分 基本积分公式 (8) sinxdx =-cosx +c (1) kdx =kx+c (9) cosxdx sinx +c xu+l (2) xudx u+1 +c(u≠-1) (10) sec2xdx tanx +c (3) -dx =Inx+c (11) csc2xdx =-cotx +c (4) exdx =ex+c (12) secxtanxdx secx +c Q (5) axdx= +c(a>0,a≠1) (13) cscxcotxdx =-cScx +c Ina (6) dx=-+c X (14) 1 dx arcsinx +c V1-x2 dx=2vx+c (15) -dx arctanx c 1+
(2) න 𝑥 𝑢𝑑𝑥 = 𝑥 𝑢+1 𝑢 + 1 + 𝑐 (𝑢 ≠ −1) (1) න 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 (3) න 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 |𝑥| + 𝑐 (4) න 𝑒 𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐 (5) න 𝑎 𝑥𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 + 𝑐 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) (6) න 1 𝑥 2 𝑑𝑥 = − 1 𝑥 + 𝑐 (9) න 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐 (8) න 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 (10) න 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐 (11) න 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐 (12) න 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥𝑑𝑥 = sec𝑥 + 𝑐 (13) න 𝑐𝑠𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑐 (14) න 1 1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐 (15) න 1 1 + 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐 (7) න 1 𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑥 + 𝑐 一、.基本积分公式
不定积分 例1：求下列不定积分。 (1)∫x5dx (2)∫x-7dx x5+1 解：=7+1+C X-7+1 解：= 5+1+C 6 +C r-6 6 +C -6
�� (1( �� (2𝟓𝒅𝒙 ( −𝟕𝒅𝒙 = 𝒙 𝟓+𝟏 𝟓 + 𝟏 + 𝑪 = 𝒙 𝟔 𝟔 + 𝑪 解： 解： = 𝒙 −𝟕+𝟏 −𝟕 + 𝟏 + 𝑪 = 𝒙 −𝟔 −𝟔 + 𝑪 例1：求下列不定积分
不定积分 3)∫5dx (4)∫vEdx 解：=∫x-9dx 解：=∫x2dx X-9+1 =-9+1+C 1 +C 2+1 8 3 -8 +C +C 3
(3) 𝟏𝒙𝟗 𝒅𝒙 解： = 𝒙 − 𝟗𝒅𝒙 = 𝒙 − 𝟗 + 𝟏 − 𝟗 + 𝟏 + 𝑪 = 𝒙 − 𝟖 − 𝟖 + 𝑪 ( 𝟒 ) 𝒙 𝒅𝒙 解： = 𝒙 𝟏𝟐𝒅𝒙 = 𝒙 𝟏𝟐 + 𝟏 𝟏𝟐 + 𝟏 + 𝑪 = 𝟐 𝒙 𝟑𝟐 𝟑 + 𝑪
不定积分 例2：求下列不定积分。 (1)∫x2Vxdx 2)J岩x 解：=∫xt2dx 解：=∫x7-5dx t2+1 1 +C 2+1 2*7+C 7 +C 3+C
�� (1( 2 𝒙𝒅𝒙 (2) 𝒙 𝟕 𝒙 𝟓 𝒅𝒙 例2：求下列不定积分。 �� =:解 𝟏 𝟐 +𝟐 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟏 𝟐 +𝟐+𝟏 𝟏 𝟐 +𝟐+𝟏 + 𝑪 = 𝟐𝒙 𝟕 𝟐 𝟕 + 𝑪 �� =:解 𝟕−𝟓𝒅𝒙 = 𝒙 𝟐+𝟏 𝟐+𝟏 + 𝑪 = 𝒙 𝟑 𝟑 + 𝑪
不定积分 二.不定积分的性质 ④∫f)±gea=∫fxax±∫gxdx (和差的积分等于积分的和差) 2∫kfdx=k∫fedx,k+o0 (非0常数因子可以提到积分号前面) 说明：性质（1)可推广到有限多个函数的情形
说明：性质（1）可推广到有限多个函数的情形。 (和差的积分等于积分的和差) (非0常数因子可以提到积分号前面) 二. 不定积分的性质 (𝟏) න 𝒇 𝒙 ± 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 ± න 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 න 𝒌𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒌 න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 , (𝒌 ≠ 𝟎)
不定积分 三·直接积分法 直接套用基本积分公式和不定积分性质求出积分，或者先将 被积函数作恒等变形后，再套用基本积分公式和不定积分性质求 出积分的方法，就叫做直接积分法
直接套用基本积分公式和不定积分性质求出积分,或者先将 被积函数作恒等变形后,再套用基本积分公式和不定积分性质求 出积分的方法,就叫做直接积分法。 三. 直接积分法
不定积分 例1：求不定积分∫(ex7+2 sinx+2*+足-月dr 解：原式=∫x?dx+2∫sinxdx+∫2*dx+∫dx-∫dx -若-2cosx+篇+2j2d-jxdx =若-2c0x+品+2m1H-2v+c 说明：右边的五个积分都含有任意常数，但由于任意常数 的和差仍然是任意常数，因此只需要在最后加一个任意常 数C就可以了
例1：求不定积分 解：原式= 说明：右边的五个积分都含有任意常数，但由于任意常数 的和差仍然是任意常数，因此只需要在最后加一个任意常 数𝑪就可以了。 ��) 𝟕+𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝟐 𝒙 + 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒙 )𝒅𝒙 �� �� + �𝒅𝒙𝒏𝒊𝒔� �� + �𝒅𝟕� + �𝒅𝒙� 𝟐 𝒙 − �𝒅� 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟖 𝟖 − 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟐 𝒙 �� + �𝒏𝒍� 𝟏 𝒙 �� − �𝒅� − 𝟏 𝟐𝒅𝒙 = 𝒙 𝟖 𝟖 − 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟐 𝒙 𝒍𝒏𝟐 + 𝟐𝒍𝒏 |𝒙| − 𝟐 𝒙 + 𝑪
不定积分 练习：求不定积分∫x0+2cosx+3x+8-VRdx 解：原式=∫xl0dx+2∫cosxdx+∫3rdx+8∫3dx-∫xidx 若+2simx+篇+8bx- +C 交+1 3 告+2six+篇+8umx-2g+c 2x2
练习：求不定积分 解：原式= ��) 10+𝟐𝑐𝑜𝑠𝒙 + 𝟑 𝒙 + 𝟖 𝒙 − 𝒙)𝒅𝒙 �� �� + �𝒅𝒙𝒔𝒐𝒄� �� + �𝒅𝟎𝟏� �� + �𝒅𝒙� 𝟏 𝒙 �� − �𝒅� 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟏𝟏 𝟏𝟏 + 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝟑 𝒙 𝒍𝒏𝟑 + 𝟖𝒍𝒏|𝒙| − 𝒙 𝟏 𝟐 +𝟏 𝟏 𝟐 +𝟏 + 𝐂 = 𝒙 𝟏𝟏 𝟏𝟏 + 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝟑 𝒙 𝒍𝒏𝟑 + 𝟖𝒍𝒏|𝒙| − 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝐂
不定积分 例2.求下列不定积分 (1)∫x2(1+x)dx (2)∫x(x+vx)dx 解：原式=∫(x3+x2)dx 解：原式=∫(x2+x+方dx =+号+c -+ 5 5+C
例2. 求下列不定积分 解: 原式 = �� 𝟑 + 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟒 𝟒 + 𝒙 𝟑 𝟑 + 𝑪 �� (��) �𝒅�(�� + ��)�� (��) �𝒅�(�� + ��)�� 解: 原式= ��) 𝟐 + 𝒙 𝟏+ 𝟏 𝟐)𝒅𝒙 = 𝒙 𝟑 𝟑 + 𝟐𝒙 𝟓 𝟐 𝟓 + 𝑪