导数与微分 复习： 基本初等函数的导数公式 (C)'=0 (x)}'=1 (x)' =uxu-1 ()' =1 √x (ax)}' =axlna (ex)' =ex (log x)' =-1 xlna (lnx)'=3 (sinx)' =COSX (arcsinx)' (cosx)'=-sinx -1 (tanx)' =sec2x (arccosx)' 二1-x2 (cotx)'=-csc2x (arctanx)' (secx)' =secxtanx 1+x2 (cscx)'=-cscxcotx (arccotx)' 1 1+x2
复习： 基本初等函数的导数公式 𝐶 ’ = 0 (𝑥 𝜇 )’=𝜇𝑥 𝜇−1 (𝑎 𝑥 )’=𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 (𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥)’= 1 𝑥𝑙𝑛𝑎 (𝑠𝑖𝑛𝑥)’=𝑐𝑜𝑠𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥)’ = −𝑠𝑖𝑛𝑥 (𝑡𝑎𝑛𝑥)’=𝑠𝑒𝑐2𝑥 (𝑐𝑜𝑡𝑥)’ = −𝑐𝑠𝑐 2𝑥 (𝑠𝑒𝑐𝑥)’=𝑠𝑒𝑐𝑥tan𝑥 (𝑐𝑠𝑐𝑥)’ = −𝑐𝑠𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑥 ’ = 1 ( 𝑥)’= 1 2 𝑥 (𝑒 𝑥 )’=𝑒 𝑥 (𝑙𝑛𝑥)’=1 𝑥 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥)’= 1 1−𝑥 2 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)’= −1 1−𝑥 2 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥)’= 1 1+𝑥 2 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑥)’= −1 1+𝑥 2
第六讲 隐函数求导法则
第六讲 隐函数求导法则
导数与微分 显函数y=f(x),y=x2, y=2x. 如果函数是由方程F(x,y)=0确定隐函数可怎么 求导数呢例如 x2,y2 a2+ 2=1, xy-ex+ey=0,y=xsinx 这样的函数 (x acost y=bsint, 怎么求导数？ y-x2=0
𝒙 𝟐 𝒂𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏, 𝒙𝒚 − 𝒆 𝒙 + 𝒆 𝒚 = 𝟎, 𝒚 = 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 这样的函数൜ 𝒙 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒚 = 𝒃𝒔𝒊𝒏𝒕 , 怎么求导数 ? 如果函数是由方程 𝑭(𝒙 , 𝒚) = 𝟎 确定隐函数可怎么 求导数呢,例如 显函数 𝒚 = 𝒇 𝒙 , 𝒚 = 𝒙 𝟐 , 𝒚′ = 𝟐𝒙. 𝒚 − 𝒙 𝟐 = 0
导数与微分 1.隐函数的求导法则 方法：如果由方程F(x,y)=0确定隐函数y=f(x)可导， 则将y=f(x)代入方程中，得到 F(x,f(x)=0 f(x)-x2=0 对上式两边关于x求导数， dF(x,y) =0 df(x) 2x=0,y=2x dx dx 然后，从这个式子中解出y,就得到隐函数的导数
𝑭 𝒙, 𝒇 𝒙 = 𝟎 对上式两边关于𝒙求导数, 然后,从这个式子中解出𝒚′ ,就得到隐函数的导数. 方法： 则将𝒚 = 𝒇(𝒙)代入方程中,得到 如果由方程 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝟎 确定隐函数𝒚 = 𝒇(𝒙)可导, 𝒅𝑭(𝒙, 𝒚) 𝒅𝒙 = 𝟎 1.隐函数的求导法则 𝒇(𝒙) − 𝒙 𝟐 = 𝟎 𝒅𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 − 𝟐𝒙 = 𝟎, 𝒚′ = 𝟐𝒙
导数与微分 例1：求由方程F(x,y)=x2因e2=0 所确定的隐函数的导数y y=f(x) 解： 方程两边关于x求导： 2x +2yy' =0 2yy'=-2x 故y=- X (y≠0) 说明： S=y2,y=f(x),y做了中间变量 s=aP,g-21er=2y
求由方程𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 − 𝒆 𝟐 =0 所确定的隐函数的导数 𝒚′ 方程两边关于𝒙 求导： 故 解: 例1： 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚𝒚′ = 𝟎 𝒚′ = − 𝒙 𝒚 （𝒚 ≠ 𝟎） 𝑺 = 𝒚 𝟐 ， = 𝟐𝒚𝒚′ 𝒚做了中间变量 𝑺 = [𝒇 𝒙 ] 𝟐 ， 𝒅𝑺 𝒅𝒙 = 𝟐𝒇 𝒙 𝒇′(𝒙) 𝒚 = 𝒇 𝒙 𝒚 = 𝒇 𝒙 ， 𝟐𝒚𝒚 ′ = −𝟐𝒙 说明：
导数与微分 练习：求F(x,y)=x3+2=0 所确定的隐函数的导数y y=f(x) 解： 方程两边关于k求导： 3x2+3y2y=0 3y2y=-3x2 x2 故y= 0≠0)
练习：求𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝟑+𝒚 𝟑 −2=0 所确定的隐函数的导数𝒚 ′ . 𝒚 = 𝒇 𝒙 方程两边关于𝒙 求导： 故 解: 3𝒙 𝟐 + 𝟑𝒚 𝟐𝒚′ = 𝟎 𝒚′ = − 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 （𝒚 ≠ 𝟎） 𝟑𝒚 𝟐𝒚 ′ = −3𝒙 𝟐
导数与微分 例2：求由方程F(x,y)=xyex+e0,求y1x=0 解：方程两边关于x求导： y=f(x) y+e*+ey0 [ef(]'=ef(f(x) 故y'(x+e=ex-y eyy' ex-y [xf(x)]'=f(x)+xf'(x) y= x+ey =y+xy 把x=0原方程可得： F(0,y)=0y-e0+ey=0 由ey=e0得y=0, x+ey lx=0 1 y=0
求由方程𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒚 − 𝒆 𝒙 + 𝒆 𝒚=0 , 求𝒚′|𝒙=𝟎. 方程两边关于𝒙 求导： 故 把 𝒙 = 𝟎 原方程可得： 由𝐞 𝐲 = 𝒆 𝟎 解: 例2： 𝒚 + 𝒙𝒚′ − 𝒆 𝒙 + 𝒆 𝒚𝒚 ′ = 𝟎 𝒚 ’(𝒙+𝒆 𝒚 )=𝒆 𝒙 − 𝒚 𝒚′ = 𝒆 𝒙 − 𝒚 𝒙 + 𝒆 𝒚 得𝒚 = 𝟎， 𝒚′|𝒙=𝟎 = 𝒆 𝒙 − 𝒚 𝒙 + 𝒆 𝒚 |𝒙=𝟎 y=𝟎 = 𝟏 [𝒙𝒇(𝒙)]′ = 𝒇(𝒙) + 𝒙𝒇′(𝒙) 𝒚 = 𝒇 𝒙 [𝒆 𝒇(𝒙) ]′ = 𝒆 𝒇 𝒙 𝒇′(𝒙) = 𝒆 𝒚𝒚 ′ = 𝒚 + 𝒙𝒚′ 𝑭 𝟎, 𝒚 = 𝟎𝒚 − 𝒆 𝟎 + 𝒆 𝒚 = 𝟎
导数与微分 练习：求F(x,y=xy+y3-3=0 所确定的隐函数的导数y 解：方程两边关于x求导： y+xy+3y2y=0 故(x+3y2)y=-y -y y=(x+3y2)
练习：求𝑭 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒚+𝒚 𝟑 −3=0 所确定的隐函数的导数 𝒚′ 方程两边关于𝒙 求导： 故 解: (𝒙 + 𝟑𝒚 𝟐 )𝒚 ′ = −𝒚 𝒚 + 𝒙𝒚′ + 3y 𝟐𝒚 ′ = 𝟎 𝒚 ′ = −𝒚 (𝒙 + 𝟑𝒚 𝟐)
导数与微分 例3：求椭圆+号-1，在(0,3)处的切线方程 解：方程两边关于x求导： ￥+号y=0→gy 2x.2y 2x ，k=yg=0 9x y=- y=3 4y y=3 切线方程为： y-3=0(x-1) y=3
例3：求椭圆𝒙 𝟐 𝟒 + 𝒚 𝟐 𝟗 =1,在（𝟎，𝟑)处的切线方程。 切线方程为： 解: 方程两边关于𝒙 求导： 𝟐𝒙 𝟒 + 𝟐𝒚 𝟗 𝒚′ = 𝟎 𝟐𝒚 𝟗 𝒚 ′ = − 𝟐𝒙 𝟒 𝒚 ′ = − 𝟗𝒙 𝟒𝒚 , 𝒌 = 𝒚 ′ |𝒙=𝟎 𝒚=𝟑 = 𝟎 𝒚 − 𝟑 = 𝟎 (𝒙 − 𝟏) 𝒚 = 𝟑 𝑦 𝑥 𝒚 = 𝟑 𝑂
导数与微分 隐函数的求导法总结： (1)方程两边同时对x求导； (2)含有y的函数在对x求导数时要乘以y' y看作中间变量
隐函数的求导法总结： （1）方程两边同时对𝒙求导; （2）含有𝒚的函数在对𝒙求导数时要乘以y’ 𝒚看作中间变量