导数与微分 基本初等函数的导数公式 (C)'=0 (x)'=1 (x)′=uxu-1 (' 1 √ (ax)' =axlna (ex)' =ex (log x)' =1 xlna (Inx)'=1 (sinx)' =COSX (cosx)' =-sinx (arcsinx)' V1-x2 (tanx)' =sec2x (arccosx)' -1 V1-x2 (cotx)'=-csc2x 1 (arctanx)' (secx)' =secxtanx 1+x2 -1 (cscx)=-cscxcotx (arccotx)' 1+x2
基本初等函数的导数公式 𝐶 ′ = 0 (𝑥𝜇 )’= 𝜇 𝑥 𝜇 − 1 ( 𝑎 𝑥 )’= 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 (𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥)’= 1 𝑥𝑙𝑛𝑎 (𝑠𝑖𝑛𝑥)’=𝑐𝑜𝑠𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = −𝑠𝑖𝑛𝑥 (𝑡𝑎𝑛𝑥)’=𝑠𝑒𝑐2𝑥 (𝑐𝑜𝑡𝑥)′ = −𝑐𝑠𝑐2𝑥 (𝑠𝑒𝑐𝑥)’=𝑠𝑒𝑐𝑥tan 𝑥 (𝑐𝑠𝑐𝑥 ) ′ = −𝑐𝑠𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑥 ′ = 1 ( 𝑥)’= 1 2 𝑥 ( 𝑒 𝑥 )’= 𝑒 𝑥 (𝑙𝑛𝑥)’= 1𝑥 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥)’= 1 1 − 𝑥 2 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)’= − 1 1 − 𝑥 2 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥)’= 1 1 + 𝑥 2 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑥)’= − 1 1 + 𝑥 2
第七讲 对数求导法则 参数方程求导法则
第七讲 对数求导法则 参数方程求导法则
导数与微分 1.对数求导法则 已知y=u(x)(),求y的导数(u(x)>0) 步骤：(1)方程两边同时取对数： Iny Inu(x)"(x)=v(x).Inu(x) (2)方程两边同时对x求导数： Y=p'(x)lnu(ex)+v() u'(x) u(x) -y=+ta剑 (3)回代 y-wvmt+uw周
已知𝒚 = 𝒖(𝒙) 𝒗(𝒙) ,求𝒚的导数(𝒖(𝒙) > 𝟎) 步骤： （2）方程两边同时对𝒙求导数; （1）方程两边同时取对数; 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒖(𝒙) 𝒗(𝒙) 𝒚 ′ = 𝒚 𝒗 ′ (𝒙)𝒍𝒏𝒖 𝒙 + 𝒗 𝒙 𝒖 ′ 𝒙 𝒖 𝒙 𝒚′ = 𝒖(𝒙) 𝒗(𝒙) 𝒗′(𝒙)𝒍𝒏𝒖 𝒙 + 𝒗 𝒙 𝒖 ′ 𝒙 𝒖 𝒙 （3）回代 1.对数求导法则 𝒚′ 𝒚 = 𝒗′ 𝒙 𝒍𝒏𝒖(𝒙) + 𝒗(𝒙) 𝒖′(𝒙) 𝒖(𝒙) ⟹ = 𝒗(𝒙) ∙ 𝒍𝒏𝒖(𝒙)
导数与微分 例1：求y=xsinx的导数(x>0), 解：运用取对数求导法 Iny Inxsinx sinxlnx 两边关于x求导： =(sinx)'Inx+sinx(Inx) 2 yy(cosxinx 故y=n(cosx+s
运用取对数求导法 两边关于 𝒙 求导： 故 解： 例1：求𝒚 = 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙的导数 𝒙 > 𝟎 . 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒍𝒏𝒙 𝒚′ 𝒚 = (𝒔𝒊𝒏𝒙)′𝒍𝒏𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙(𝒍𝒏𝒙)′ 𝒚 ′ = 𝒚(𝒄𝒐𝒔𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒙 ) 𝒚′ = 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙(𝒄𝒐𝒔𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒙 )
导数与微分 练习：求y=xx的导数(x>0). 解：运用取对数求导法 Iny Inxx xlnx 两边关于x求导： >手nx+xy y=xx'(x>0) y=? y'=y(Inx +1) 故y=xx(lnx+1)
练习：求𝒚 = 𝒙 𝒙的导数 𝒙 > 𝟎 . 运用取对数求导法 两边关于 𝒙 求导： 故 解： 𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 𝒙 = 𝒙𝒍𝒏𝒙 𝒚′ 𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 + 𝒙(𝒍𝒏𝒙)′ 𝒚′ = 𝒚(𝒍𝒏𝒙 +1) 𝒚′ = 𝒙 𝒙 (𝒍𝒏𝒙 + 𝟏) 𝒚 = 𝒙 𝒙 𝒙 (𝒙 > 𝟎) 𝒚 ′ =?
导数与微分 例2：求y=3 (x-10x+5) (x-3)(x+4) 的导数(x>-5) 解：运用取对数求导法 lny=3[lm(x-1)(x+5)-ln(x-3)(x+4] my=3lm(x-1)+lm(x+5)-ln(x-3)-m(x+4] 两边关于x求导： 影-+4 11 13(x-1)(x+5),1 y=3x-3列x+4-1 故 1 x+ 5 -x-3 x+4
故 解： 例2：求𝒚 = 𝟑 𝒙−𝟏 𝒙+𝟓 𝒙−𝟑 𝒙+𝟒 的导数 𝒙 > −𝟓 . 𝒍𝒏𝒚 = 𝟏 𝟑 [𝒍𝒏 𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟓 − 𝐥𝐧(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟒)] 𝒚′ 𝒚 = 𝟏 𝟑 ( 𝟏 𝒙 − 𝟏 + 𝟏 𝒙 + 𝟓 − 𝟏 𝒙 − 𝟑 − 𝟏 𝒙 + 𝟒 ) 𝒚′ = 𝟏 𝟑 𝟑 𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟓 𝒙 − 𝟑 𝒙 + 𝟒 ( 𝟏 𝒙 − 𝟏 + 𝟏 𝒙 + 𝟓 − 𝟏 𝒙 − 𝟑 − 𝟏 𝒙 + 𝟒 ) 运用取对数求导法 𝒍𝒏𝒚 = 𝟏 𝟑 [𝒍𝒏 𝒙 − 𝟏 + 𝒍𝒏 𝒙 + 𝟓 − 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟑) − 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟒)] 两边关于 𝒙 求导：
导数与微分 2.参数方程求导法则 1.参数方程的概念 选择一个适当的参数t后， y=f(x)可表示为 (x=x(t) y=y间 的形式，此式称为函数y=f(x)的参数方程
选择一个适当的参数 𝒕 后, 𝒚 = 𝒇 (𝒙) 可表示为 1. 参数方程的概念 ቊ 𝒙 = 𝒙(𝒕) 𝒚 = 𝒚(𝒕) , 𝒕 ∈ 𝑰 的形式,此式称为函数𝒚 = 𝒇 (𝒙)的参数方程. 2.参数方程求导法则
导数与微分 2.参数方程求导法则： (x=x(t) t∈I ly=y(t) 若器y =x(回存在，且x0≠0， dx 则 器 y'(t) 器 x'(t)
2. 参数方程求导法则： ቊ 𝒙 = 𝒙(𝒕) 𝒚 = 𝒚(𝒕) 𝒕 ∈ 𝑰 若 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝒚′(𝒕) 𝒙′(𝒕) 则 𝒅𝒚 𝒅𝒕 = 𝒚 ′ 𝒕 , 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝒙 ′ 𝒕 存在，且 𝒙′(𝒕) ≠ 𝟎
导数与微分 例3 求 Jx= 2c0st的导数： 3sint 解 x'=2(cost)'=-2sint y'3(sint)'3cost 器 = 3cost 3 x -2sint zcott
例3 求 ቊ 𝒙 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒚 = 𝟑𝒔𝒊𝒏𝒕 的导数; 解 ቊ 𝒙 ′ = 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒕 ′ = −𝟐𝒔𝒊𝒏𝒕 𝒚 ′ = 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝒕 ′ = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝒕 −𝟐𝒔𝒊𝒏𝒕 = − 𝟑 𝟐 𝒄𝒐𝒕𝒕
导数与微分 例4.求 x=1+2 y=2t 的导数： 解 x 2t y 24 1-t 练习：求 x=t+t3 y=2t2+3t 的导数：
例4. 求 ቊ 𝒙 = 𝟏 + 𝒕 𝟐 𝒚 = 𝟐𝒕 的导数; 解 ቊ 𝒙′ = 𝟐𝒕 𝒚′ = 𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝟐 𝟐𝒕 = 𝟏 𝒕 练习：求 ቊ 𝒙 = 𝒕 + 𝒕 𝟑 𝒚 = 𝟐𝒕 𝟐 + 𝟑𝒕 的导数;