第八讲 函数的连续性
第八讲 函数的连续性
函数极限与连续 1.函数的连续性 水的流动 1.现实生活中连续的现象 视频中出现了哪 植物的生长 几种连续的现象？ 时间的变化 书的页码 2.现实生活中不连续的现象 视频中排的队列 是连续的吗？ 站成队列 请你举出现实生活中连续的例子，与不连续的例子
2.现实生活中不连续的现象 水的流动 植物的生长 时间的变化 . . . . . 1.函数的连续性 1.现实生活中连续的现象 ቐ 书的页码 站成队列 . . . . . 请你举出现实生活中连续的例子，与不连续的例子。 视频中出现了哪 几种连续的现象？ 视频中排的队列 是连续的吗？
函数极限与连续 例1：观察视频中下列函数在x=0处的连续性。 (1)f(x)=|x| 函数在x=0处连续； a》g倒=2,007 函数在x=0处不连续。 课堂练习： (1)数1,2,3,4,5,6,7. A:连续 B:不连续
例1：观察视频中下列函数在𝒙 = 𝟎处的连续性。 （1）𝒇(𝒙) = |𝒙| （2）𝒈(𝒙) = ቊ 𝒙 + 𝟐, 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟕 𝒙, −𝟕 ≤ 𝒙 < 𝟎 函数在𝒙 = 𝟎处连续； 函数在 𝒙 = 𝟎 处不连续。 （1）数1，2，3，4，5，6，7. A:连续 B:不连续 课堂练习：
函数极限与连续 1.1函数的增量 定义1： 变量u,从u1变到u2,则增量 u:2→2 记为： △u=u2-U1 =1222=®1 x:x0→X0+△x y:f(xo)→f(xo+△x) 函数增量： △y=f(xO+△x)-f(xo)
1.1函数的增量 定义1： 记为： 变量𝒖,从𝒖1变到𝒖2 ,则增量 ∆𝑢=𝑢2 -𝑢1 𝒙0→𝒙0+∆𝒙 函数增量： 𝑥 ： 𝑦 ： 𝒇(𝒙0 )→𝒇(𝒙0+∆𝒙) ∆𝑦=𝑓(𝑥0+∆𝑥)-𝑓(𝑥0 ) 𝑢: 1 2 ∆𝑢=2-1 = 1 2 1 ∆𝑢=1-2 = −1 2 ∆𝑢=2-2 = 0
函数极限与连续 1.2函数的增量的计算 x:1→1.2◆△x=1.2-1=0.2 y:f(1)→f(1.2)→△y=f(1.2)-f(1)→函数增量 y=2x, △y=2×1.2-2×1=0.4 y=3X, △y=3×1.2-3×1=0.6 y=2x2,△y=(2×1.22)-(2×1)=0.88 y=2x+1,△y=(2×1.2+1)-(2×1+1)=0.4
1.2函数的增量的计算 𝒙： 𝟏 →1.2 ∆𝒙 = 𝟏. 𝟐 − 𝟏 = 𝟎. 𝟐 𝒚： 𝒇(𝟏) → 𝒇(1.2) ∆𝒚 = 𝒇(𝟏. 𝟐) − 𝒇(𝟏) 函数增量 𝒚 = 𝟐𝒙, ∆𝒚 = 𝟐 × 𝟏. 𝟐 − 𝟐 × 𝟏 = 𝟎. 𝟒 𝒚 = 𝟑𝒙, ∆𝒚 = 𝟑 × 𝟏. 𝟐 − 𝟑 × 𝟏 = 𝟎. 𝟔 𝒚 = 𝟐𝒙 𝟐 , ∆𝒚 = 𝟐 × 𝟏. 𝟐 𝟐 − 𝟐 × 𝟏 = 𝟎. 𝟖𝟖 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏, ∆𝒚 = (𝟐 × 𝟏. 𝟐 + 𝟏) − (𝟐 × 𝟏 + 𝟏) = 𝟎. 𝟒
函数极限与连续 X:X0→X0+△X y:f(xo)→f(xo+△x) △y=f(xo+△x)-f(xo) 函数增量 y=2x,△y=2×(x0+△x)-2×x0=2△x y=2x+1,△y=[2×(x0+△x)+1]-(2×x0+1)=2△x y=x2,△y=(x0+△x)2-x6=2x0△x+△x2
函数增量 𝒙 ： 𝒙𝟎 → 𝒙𝟎+∆𝒙 𝒚 ： 𝒇(𝒙𝟎) → 𝒇(𝒙𝟎+∆𝒙) ∆𝒚 = 𝒇(𝒙𝟎+∆𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎) 𝒚 = 𝟐𝒙, ∆𝒚=𝟐 × (𝒙𝟎+∆𝒙) − 𝟐 × 𝒙𝟎 = 𝟐∆𝒙 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏, ∆𝒚 = 𝟐 × 𝒙𝟎+∆𝒙 + 𝟏 − (𝟐 × 𝒙𝟎 + 𝟏) =2 ∆𝒙 𝒚 = 𝒙 𝟐 , ∆𝒚 = （𝒙𝟎 + ∆𝒙）𝟐 − 𝒙𝟎 𝟐 =2 𝒙𝟎∆𝒙 + ∆𝒙 𝟐
函数极限与连续 1.3函数连续的概念 例1：观察下列函数图像，当△x一→0时，△y的变化趋势。 视频一当△x→0时，△y→0. 视频二当△X→0时，△y0. 定义2：设函数y=f(x)在xo点及其近旁有定义， 当x由x0→xo+△x时；而y由f(xo)一→f(xo+△x), 函数增量为：△y=f(xo+△x)-f(xo): 若im△y=0,则称函数y=f(x)在xo点连续。 △X→0
1.3函数连续的概念 例1：观察下列函数图像，当△ 𝒙 →0时，△ 𝒚 的变化趋势。 视频一 视频二 当△𝒙→0时， 当△𝒙→0时， △𝒚 ↛0. △𝒚→0. 则称函数 𝒚 = 𝒇(𝒙) 在 𝒙 0点连续。 △𝒚=𝒇(𝒙0+△𝒙)−𝒇(𝒙0 函数增量为: )； 若 lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 = 0, 定义2: 设函数𝒚 = 𝒇(𝒙) 在𝒙0点及其近旁有定义, 当𝒙由𝒙0→𝒙0+△𝒙时；而𝒚由𝒇(𝒙0 )→𝒇(𝒙0+△𝒙)
函数极限与连续 lim△y=lim[f(xo+△x)-f(xo)]=0 △x→0 △X→0 分析： 令xO+△x=x, 则△X一→0即x→x0: △y→0，即f(x)→f(xo). 则定义2可改为如下定义： 定义3：(1)设函数y=f(x)在xo点及其近旁有定义； (2)lim f(x)=A X→X0 (3)A=f(xo) 则称函数y=f(x)在x点连续
分析： 令𝒙0+∆𝒙=𝒙, 则∆𝒙→0即 𝒙→𝒙0； 则定义2可改为如下定义： (𝟏)设函数𝒚 = 𝒇(𝒙) 在𝒙0点及其近旁有定义； 则称函数𝒚 = 𝒇(𝒙) 在𝒙𝟎点连续。 定义3： ∆𝒚→0,即𝒇(𝒙)→𝒇(𝒙0 ). （2）𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝒇 𝒙 = 𝑨 （𝟑）𝑨 = 𝒇(𝒙𝟎) 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒚 = 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙→𝟎 𝒇 𝒙𝟎 + ∆𝒙 − 𝒇 𝒙𝟎 = 𝟎
函数极限与连续 讨论： 函数的极限（有定义）与函数连续性的关系。 如果函数y=f(x)在xo处有极限则y=f(x)在xo处不一定连续。 如果函数y=f(x)在xo处连续则y=f(x)在xo一定有极限。 如果函数y=f(x)在xo处连续则y=f(x)在xo一定有定义。 如果函数y=f(x)在xo处有定义则y=f(x)在xo不一定连续。 即：连续有条反之不然
讨论： 函数的极限（有定义）与函数连续性的关系。 如果函数𝒚 = 𝒇 𝒙 在𝒙𝟎处有极限则𝒚 = 𝒇 𝒙 在𝒙𝟎处不一定连续。 如果函数 𝒚 = 𝒇 𝒙 在𝒙𝟎 处连续则 𝒚 = 𝒇 𝒙 在𝒙𝟎 一定有极限。 如果函数 𝒚 = 𝒇 𝒙 在𝒙𝟎 处连续则 𝒚 = 𝒇 𝒙 在𝒙𝟎 一定有定义。 如果函数𝒚 = 𝒇 𝒙 在𝒙𝟎处有定义则𝒚 = 𝒇 𝒙 在𝒙𝟎不一定连续。 即：连续⇒ { 有定义 有极限，反之不然
函数极限与连续 A:充分条件 若A→B,B羚A,称A为B的充分条件 B:必要条件 若B→A,A羚B,称A为B的必要条件 C:充分必要条件 若B→A,A→B,称A为B的充分必要条件
A:充分条件 若A⟹ 𝑩, 𝑩 ⇏ 𝑨, 称𝑨为𝑩的充分条件 B:必要条件 若B⟹ 𝑨, 𝑨 ⇏ 𝑩,称𝑨为𝑩的必要条件 C:充分必要条件 若B⟹ 𝑨, 𝑨 ⟹ 𝑩, 称𝑨为𝑩的充分必要条件