第二讲 导数的几何意义 可导与连续的关系
第二讲 导数的几何意义 可导与连续的关系
导数与微分 一.曲线y=f(x)在xo点导数的几何意义 曲线在xo点切线的斜率：f'(xo)=tana=k切 法线 曲线在xo点法线的斜率： y=f(x) k法= (k切≠0) X X M x0+△x
曲线在𝒙0点切线的斜率：𝒇 ′(𝒙𝟎 ) = 𝒕𝒂𝒏𝜶 = k切 一 .曲线𝒚 = 𝒇(𝒙)在𝒙0点导数的几何意义 曲线在𝒙0点法线的斜率： k法 = − 1 𝒇 ′(𝒙𝟎 ) （ k切 ≠ 0） 𝑥 y O 𝑥0 𝑥0 +△ 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑃 𝑄 T α 𝜑 △𝒙 △𝒚 法线 𝑀
导数与微分 函数y=f(x)在P(xo,f(xo)点有导数f'(xo). 切线方程： y-f(xo)=f(xo)(x-xo) -1 法线方程： y-fxo)=fox-xo）(f'(o)≠0) y=f(x) 线 : X M
函数𝒚 = 𝒇(𝒙)在𝑷(𝒙𝟎，𝒇(𝒙𝟎 )）点有导数𝒇 ′(𝒙𝟎 ) . 切线方程: 法线方程: 𝒚 − 𝒇(𝒙𝟎 ) = −𝟏 𝒇′(𝒙𝟎) (𝒙 − 𝒙𝟎 ) 𝑥 𝑦 O 𝑥0 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑃 𝑄 T α 法 线 𝑀 𝒚 − 𝒇(𝒙𝟎 ) = 𝒇′(𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟎 ) （𝒇′(𝒙𝟎) ≠ 0）
导数与微分 例1：求曲线y=x2在(2,4)处的切线与法线方程。 解： y=(x2)'=2x 求导函数 k=2x|x=2=4=f'(2) 2、求导数值=斜率 切线方程：y-4=4(x-2) 3、写点斜式方程 1 法线方程：y-4=一4x-2) 练习1：求曲线y=x2在(3,9)处的切线法线方程
例1：求曲线𝒚 = 𝒙 2在(2,4)处的切线与法线方程。 解： 𝒚′ = (𝒙 𝟐)′ = 𝟐𝒙 𝒌 = 𝟐𝒙|𝒙=𝟐 = 𝟒 = 𝒇′(𝟐) 切线方程： 𝐲 − 𝟒 = 𝟒(𝒙 − 𝟐) 法线方程： 1、求导函数 2、求导数值=斜率 3、写点斜式方程 𝒚 − 𝟒 = − 𝟏 𝟒 (𝒙 − 𝟐) 练习1：求曲线𝒚 = 𝒙 2在(3,9)处的切线与法线方程
导数与微分 90° 法线 A(2,4 eq1:y-4=- (x-2) f(x)=x2 g:y=4x-4 2 切线 2
导数与微分 例2：求曲线y=lnx在x=e处的切线与法线方程。 解： y-(ny- 1、求导函数 2、求导数值=斜率 当x=e时，y=lne=1 3、求点的坐标 切线方程：y1cx-e) 写点斜式方程 法线方程： y-1=-e(x-e)
例2：求曲线𝒚 = 𝒍𝒏𝒙在𝒙 = 𝒆处的切线与法线方程。 解： 𝒚′ = (𝒍𝒏𝒙)′ = 𝟏 𝒙 切线方程： 法线方程： 𝒚 − 𝟏 = −𝒆(𝒙 − 𝒆) 当𝒙 = 𝒆时，𝒚 = 𝒍𝒏𝒆 = 𝟏 1、求导函数 2、求导数值=斜率 4、写点斜式方程 3、求点的坐标 𝒌 = ቤ 𝟏 𝒙 𝒙=𝒆 = 𝟏 𝒆 𝒚 − 𝟏 = 𝟏 𝒆 (𝒙 − 𝒆)
导数与微分 eq1 2 1.5 1 A(e,1) eq2:y-1=(x-e) a=90 切线 0.5 -0.5 0.5 2.5 3.5 0.5 eq1:y-1=-e(x-e) 法线 f(x)=In(x) -15
导数与微分 练习： (1)求曲线y=sinx在（匠，经处的切线与法线方程。 (2)求曲线y=x3在x=2处的切线与法线方程。 (3)求曲线y=x3在x=1处的切线与法线方程
练习： (1)求曲线𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝒙在( 𝝅 𝟒 , 𝟐 𝟐 )处的切线与法线方程。 (2)求曲线𝒚 = 𝒙 𝟑在𝒙 = 𝟐处的切线与法线方程。 (3)求曲线𝒚 = 𝒙 𝟑在𝒙 = 𝟏处的切线与法线方程
导数与微分 eq2 切线 90 f(x)=sin(x) 7 e92y- 法线 -k-到 -2
导数与微分 18 16 14 切线 12 g:y=12x-16 10 a=90° A(2,8) 法线 1 eq1:y-8= f(x)=x3 12 (x-2) 8 6 -2 2 10 16