函数极限与连续 第九讲 初等丞数的连续性 闭区间上连续数的性质
第九讲 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
第十三讲 初等函数的连续性
第十三讲 初等函数的连续性
函数极限与连续 初等函数的连续性 1.一切基本初等函数在其定义域内都是连续的。 例如： (1)lim 2x= X→1 (2)lim log= X)2 (3)lim sinx X→2 (4)lim cosx= X→1 直接代入法
一.初等函数的连续性 1.一切基本初等函数在其定义域内都是连续的。 例如： （1）lim 𝑥→1 2 𝑥 = （2）lim 𝑥→2 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = （3）lim 𝑥→2 𝑠𝑖𝑛𝑥 = （4）lim 𝑥→1 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 直接代入法
函数极限与连续 1.初等函数的连续性定理 定理1：设函数f(x)和g(x)在点x处连续，则函 数f(x)±g(x),f(x)·g(x), (g(xo)≠0) 在xo处连续。 定理2：设函数=p(x)在点xo处连续，uo=p(xo), 函数y=f(u)在点uo处连续，则复合函数y=f[p(x)] 在xo处连续。 2.一切初等函数在其有定义区间内都是连续的。 反例y=V1-cosx(x=2kπ，k∈Z)
定理2：设函数𝒖 = 𝝋(𝒙)在点𝒙0处连续，𝒖𝟎 = 𝝋 𝒙𝟎 , 函数𝒚 = 𝒇 𝒖 在点𝒖0处连续,则复合函数𝒚 = 𝒇 𝝋 𝒙 在𝒙0处连续。 定理1：设函数𝒇(𝒙)和𝒈(𝒙) 在点𝒙0处连续，则函 数𝒇 𝒙 ± 𝒈 𝒙 ，𝒇 𝒙 · 𝒈 𝒙 , 𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 (𝒈(𝒙𝟎) ≠ 𝟎) 在𝒙0处连续。 1.初等函数的连续性定理 2.一切初等函数在其有定义区间内都是连续的。 反例 y x x k k Z = − = 1 cos ( 2 , )
函数极限与连续 例1：求下列函数的极限。 2x log 22+10g3 (1) lim- 4+1og3 x→2sinX+2c0Sx sin2 2cos2 sin2 2cos2 3x +Insinx 31 +Insin1 (2) lim- isin2x cos(x +1)sin2 cos(1+1) 3 Insin1 sin2 cos 2
例1：求下列函数的极限。 (1) lim 𝑥→2 2 𝑥 + log3 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = (2) lim 𝑥→1 3 𝑥 + 𝑙𝑛𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + cos(𝑥 + 1) = 2 2 + log3 2 𝑠𝑖𝑛2 + 2𝑐𝑜𝑠2 3 1 + 𝑙𝑛𝑠𝑖𝑛1 𝑠𝑖𝑛2 + cos(1 + 1) = 3 + 𝑙𝑛𝑠𝑖𝑛1 𝑠𝑖𝑛2 + cos 2 = 4 + log3 2 𝑠𝑖𝑛2 + 2𝑐𝑜𝑠2
函数极限与连续 例2：求下列函数的极限。 (1)lim Incosx 解：原式=ln1=0 X→0 Incosx -7x Incos1-7 (2)lim 解：原式= 1 sinx x2 sin1 +1 (3)lim In(1+x) 解：原式=imln(1+x为)定 X→0 X0 =m(1+x词 =Ine 1
解：原式=ln𝟏 = 𝟎 解：原式= 解：原式= =𝒍𝒏𝒆 = 𝟏 例2：求下列函数的极限。 (1)lim 𝑥→0 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥 (2) lim 𝑥→1 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥 − 7𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑥 2 3 lim 𝑥→0 ln(1 + 𝑥) 𝑥 lim 𝑥→0 ln(1 + 𝑥) 1 𝑥 = 𝑙𝑛[lim 𝑥→0 (1 + 𝑥) 1 𝑥] 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠1 − 7 𝑠𝑖𝑛1 + 1
函数极限与连续 练习：求下列函数的极限。 inx (1) limln- Insinx -5x X→0 X (2) 吗2x2+cosx (3) (1+x) lim- (4) sin(1+x) lim X→0 x+1 X→0 X+2
练习：求下列函数的极限。 (1) (2) (3) (4) lim 𝑥→1 𝑙𝑛𝑠𝑖𝑛𝑥 − 5𝑥 2𝑥 2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 lim 𝑥→0 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥 lim 𝑥→0 ln(1 + 𝑥) 𝑥 + 1 lim 𝑥→0 sin(1 + 𝑥) 𝑥 + 2
函数极限与连续 二闭区间上连续函数的性质续性 1.最大最小值定理 定理3：如果函数f(x)在闭区间[α，b]上连续， 则函数f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值。 说明：(1)一定是闭区间，离开了闭区间结论不一定成立。 (2)一定是连续函数，否则结论不一定成立。 如y=x分别定义在(a,b)、[a,b)、(a,b]上
定理3： 则函数𝒇(𝒙)在[𝒂, 𝒃]上一定有最大值和最小值。 如果函数 𝒇(𝒙) 在闭区间 [𝒂, 𝒃] 上连续， 说明： (1)一定是闭区间，离开了闭区间结论不一定成立。 (2) 一定是连续函数，否则结论不一定成立。 如𝒚 = 𝒙分别定义在(𝒂, 𝒃)、[𝒂, 𝒃)、(𝒂, 𝒃]上. 二.闭区间上连续函数的性质续性 1.最大最小值定理
函数极限与连续 f(x)=x,(-5<x<5) f(x)=x(-5≤x<5) (1)没有最大值和最小值 (2)没有最大值
(1)没有最大值和最小值 (2)没有最大值
函数极限与连续 2.介值定理 定理4：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续 其最大值为M,最小值为m,m≠M,对于任意常数 C(m<C<M)在开区间(a,b)内至少有一点ξ 使得f()=C。 y个 M b 鼎· 53 X a 51 f(51)=f(ξ2)=f(3)=C
定理4 ： 如果函数𝒇(𝒙)在闭区间[𝒂, 𝒃]上连续 其最大值为𝑴,最小值为𝒎, 𝒎 ≠ 𝑴，对于任意常数 𝑪 (𝒎<𝑪<𝑴)在开区间(𝒂, 𝒃)内至少有一点𝝃 使得𝒇(𝝃) = 𝑪。 𝑥 𝑦 o 𝑴 𝒎 𝑏 𝑎 C 𝜉1 𝜉2 ξ3 𝑓(𝜉1 ) = 𝑓(𝜉2 ) = 𝑓(𝜉3 ) = 𝐶 2.介值定理