第六讲 函数极限的四则运算
第六讲 函数极限的四则运算
函数极限与连续 函数极限的四则运算 1.几种特殊函数的极限 2.x→x时函数极限运算法则 3.x→∞时函数极限运算法则 4.几种求极限的方法
1. 几种特殊函数的极限 2. 𝒙 → 𝒙𝟎时函数极限运算法则 4. 几种求极限的方法 3. 𝒙 → ∞时函数极限运算法则 一、函数极限的四则运算
函数极限与连续 1.几种特殊函数的极限 (1)lim C=C lim-3=-3 X→X0 lim 2 =2 X→5 X→1 C为任意常数； (2)lim x =xo lim x=3 limx= 5 X→x0 X→3 X→5 (3)lim cosx cosxo lim cosx cos3 lim cosx cos0 =1 X→X0 X→3 X→0 (4)lim sinx sinxo lim sinx sin7 lim sinx sin0 =0 X→X0 X-→7 X→0
1.几种特殊函数的极限 1 lim 𝑥→𝑥0 𝐶 = C 𝐶为任意常数； (2) lim 𝑥→𝑥0 𝑥 = 𝑥0 (3) lim 𝑥→𝑥0 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥0 (4) lim 𝑥→𝑥0 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥0 −3 5 cos0 = 1 lim sin0 = 0 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛𝑥 = lim 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠𝑥 = lim 𝑥→5 𝑥 = lim 𝑥→5 −3 = lim 𝑥→1 2 = 2 lim 𝑥→3 𝑥 = 3 lim 𝑥→3 𝑐𝑜𝑠𝑥 = cos3 lim 𝑥→7 𝑠𝑖𝑛𝑥 = sin7
函数极限与连续 2.函数极限(x→xo)的运算法则 设四fW）=Agx)=B, X→X0 则Iimf(x)±g(x)=A士B X→X0 limf(x)·g(x)=A·B X→X0 lim f(x)A x-x0g(x) =日，(B≠0)
设 lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 = 𝐴, lim 𝑥→𝑥0 𝑔 𝑥 = 𝐵, 则 lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = 𝐴 ± 𝐵 lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝐴 ∙ 𝐵 lim 𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝐴 𝐵 , (𝐵 ≠ 0) . 2.函数极限(𝒙 → 𝒙𝟎)的运算法则
函数极限与连续 例1：求下列极限。 x2-4x+5 (1) lim (x2-4x+5) (2) lim X→2 x2x3-2x+5 解：原式=22-4×2+5 解：原式=lim22-4×2+5 x→223-2×2+5 =4-8+5 1 =1
例1：求下列极限。 解： 原式= 解： (1) lim 𝑥→2 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 (2) lim 𝑥→2 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 𝑥 3 − 2𝑥 + 5 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → 2 2 2 − 4 × 2 + 5 2 3 − 2 × 2 + 5 2 2 −4×2+5 原式= = 4 − 8 + 5 = 1 = 1 9
函数极限与连续 sinx 6 (3) lim (4) lim x-0cOS2x 号six 解： sin0 原式=lim 解：原式= 6 lim X→0 cos0 π x-2 sin2 6 i =1 =0
( 3 ) lim𝑥→ 0 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 解 ： 原 式 = lim𝑥→0 𝑠𝑖𝑛0 cos0 ( 4 ) lim𝑥→𝜋2 6 𝑠𝑖𝑛𝑥 原 式 = lim𝑥→𝜋2 6 sin 𝜋2 解 ： = 01 = 0 = 61 = 6
函数极限与连续 练习： (1) lim(2x2-4x+5)=(C) X→1 A:1B:2C:3 D:0 x2-4x+5 (2) lim x1x3-2x+5 (A) AB时c D:1
(1) lim 𝑥→1 2𝑥 2 − 4𝑥 + 5 = ( ) (2) lim 𝑥→1 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 𝑥 3 − 2𝑥 + 5 ( ) 练习： A:1 B:2 C:3 D:0 A:1 2 B:1 3 C:1 4 D:1 C A
函数极限与连续 x2-4 (5) lim x-2X-2 (x2-a2)=(x-a)(x+a) (x2-4)=(x-2)(x+2) 解：原式=limx-2)(x+2) x→2X-2 li x2x+2) =4
= 4 解： 原式= (5) lim 𝑥→2 𝑥 2 − 4 𝑥 − 2 (𝑥 2 − 𝑎 2 ) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎) lim 𝑥 → 2 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) 𝑥 − 2 = lim 𝑥 → 2 (𝑥 + 2) (𝑥 2 − 4) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
函数极限与连续 x2-3x+2 (6) lim x-2x2-5x+6 分析：x→2，分母趋于0；分子也趋于0. 因此分子分母含有因式(x一2) (x-2)(x-1) 解：原式=lim 0x2r-2)x-3) lim (x-1) x趋近于2，但不 x→2(x-3) 等于2，因此分母 不为0，有意义 =-1
= −1 解：原式= (6) lim 𝑥→2 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 lim 𝑥→2 (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) 分析：𝑥 → 2,分母趋于0；分子也趋于0. 因此分子分母含有因式(𝑥 − 2) = lim 𝑥 → 2 (𝑥 − 1) (𝑥 − 3) 𝒙趋近于2，但不 等于2，因此分母 不为0，有意义
函数极限与连续 练习： x2-9 (1) lim x2+4x+5 x3X-3 (4) lim x1x3+2x+5 x2-4 (2) lim x2+4x-5 x→1X-2 (5) W1x2+2x-3V lim x2-9 (3) lim x3X+3 (6) x2+9 lim x3X-3
练习： (1) lim 𝑥→3 𝑥 2 − 9 𝑥 − 3 (2) lim 𝑥→1 𝑥 2 − 4 𝑥 − 2 (3) lim 𝑥→3 𝑥 2 − 9 𝑥 + 3 (4) lim 𝑥→1 𝑥 2 + 4𝑥 + 5 𝑥 3 + 2𝑥 + 5 (5) lim 𝑥→1 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 (6) lim 𝑥→3 𝑥 2 + 9 𝑥 − 3 √ √ √