第十讲 两个重要的极限
第十讲 两个重要的极限
函数极限与连续 1第二种重要的极限 lim + e e≈2.71828. 幂指函数 1 10 100 1000 10000 100000 1+》 2 2.59374 2.70418 2.71692 2.71851 2.71827 X -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000 2.86797 2.73200 2.71964 2.71841 2.71830 2.718283
lim 𝑥→∞ 1 + 1 𝑥 𝑥 = 𝑒 𝑒 ≈ 2.71828 . . 1.第二种重要的极限 𝑥 1 10 100 1000 10000 100000 . 1 + 1 𝑥 𝑥 2 2.59374 2.70418 2.71692 2.71851 2.71827 . 𝑥 -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000 . 1 + 1 𝑥 𝑥 2.86797 2.73200 2.71964 2.71841 2.71830 2.718283 . 幂指函数
函数极限与连续 (1+=e 这只限于分析，计算步 分析： 1、类型：1型d 骤里不允许出现此式 2、形似： lm(1+)“=e 1100 ]-e f(x)→0∞ 加号 互为 倒数
分析： 1、类型：𝟏 ∞型 2、形似： 𝒍𝒊𝒎 𝒖→∞ 𝟏 + 𝟏 𝒖 𝒖 = 𝒆 故： 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙)→∞ (𝟏 + 𝟏 𝒇(𝒙) ) 𝒇 𝒙 = 𝒆 这只限于分析，计算步 骤里不允许出现此式 𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ 𝟏 + 𝟏 𝒙 𝒙 = 𝒆 加号 互为 倒数
函数极限与连续 例1：求下列函数的极限。 ()lim(1+3x 互为倒数 解：原式=m（1+凰2x一台兰m台kxk+0)一o r00 =m(1+32 u克 =[(1+12 =e2
例1：求下列函数的极限。 (1) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ (𝟏 + 𝟐 𝒙 ) 𝒙 解：原式= 𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ (𝟏 + 𝟐 𝒙 ) 𝒙 𝟐 ×𝟐 𝒙→∞⇔ 𝒙 𝟐 →∞⇔ 𝒌𝒙(𝒌≠0)→∞ =[𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ (𝟏 + 𝟐 𝒙 ) 𝒙 𝟐] 2 𝒖= 𝒙 𝟐 =[𝒍𝒊𝒎 𝒖→∞ (𝟏 + 𝟏 𝒖 ) 𝒖 ] 2 =e2 互为倒数
函数极限与连续 2lm(（1-3 -0o 解原武1F号永 X→00 加号 互为倒数 =m1+子可-2 =e-2
(2) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ (𝟏 − 𝟐 𝒙 ) 𝒙 解：原式= 𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ (𝟏 + 𝟐 (−𝒙) ) −𝒙 𝟐 ×(−𝟐) =[𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ (𝟏 + 𝟐 −𝒙 ) −𝒙 𝟐 ] −𝟐 =𝒆 −𝟐 加号 互为倒数
函数极限与连续 (3)im(1+3x+5 X→00 15 解：原式=m(（1+孕-(1+35 =m(1+32 =e2
(3) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ (𝟏 + 𝟐 𝒙 ) 𝒙+5 解：原式= 𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ (𝟏 + 𝟐 𝒙 ) 𝒙 ·(𝟏 + 𝟐 𝒙 ) 5 =[𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ (𝟏 + 𝟐 𝒙 ) 𝒙 𝟐] 2 =e2 1 5
函数极限与连续 (1+)=e x0 分析： 1、类型：1∞型 2、形似：(1+)=e 故：m1+高yw=e f(x)→∞ 3、令x=,x→o,z→0 变形：(1+z)2=e 推广：lim[1+f(x)]而=e f(x)→0
分析： 1、类型：𝟏 ∞型 2、形似： 𝒍𝒊𝒎 𝒖→∞ 𝟏 + 𝟏 𝒖 𝒖 = 𝒆 故： 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙)→∞ (𝟏 + 𝟏 𝒇(𝒙) ) 𝒇 𝒙 = 𝒆 3、令𝒙= 𝟏 𝒛 , 𝒙 → ∞, 𝒛 → 𝟎 变形： 𝒍𝒊𝒎 𝒛→𝟎 (𝟏 + 𝒛) 𝟏 𝒛 = 𝒆 推广： 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙)→𝟎 [𝟏 + 𝒇(𝒙)] 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝒆 𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ 𝟏 + 𝟏 𝒙 𝒙 = 𝒆
函数极限与连续 (4) mo1+3月 (5) m0o1-3 解：原式=lim(1+3x)x3 r-0 解：原式[[1+(-3x)网-3 =[lim(1+3x)33 x-0 =[lm(1-3x)-3 x0 =e3 =e-3
(4) 解：原式= 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 (𝟏 + 𝟑𝒙) 𝟏 𝟑𝒙×𝟑 =[𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 (𝟏 + 𝟑𝒙) 𝟏 𝟑𝒙] 3 =e 3 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → 𝟎 (𝟏 + 𝟑𝒙) 𝟏 𝒙 (5) 解：原式=[𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 [(𝟏 + ( −𝟑𝒙)] −𝟏 𝟑𝒙 ] −𝟑 =𝒆 −𝟑 𝒍𝒊𝒎 𝒙 → 𝟎 (𝟏 − 𝟑𝒙) 𝟏 𝒙 =[𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 (𝟏 − 𝟑𝒙) −𝟏 𝟑𝒙 ] −𝟑
函数极限与连续 练习： (1)lm(1+3*-(A）A:e3E B:e6 C:e-2 D:e2 (2)Im(1+33(B)Ae3E B:e6 C:e-2 D:e2 (3)lm(1-3*-(D)A1Be5Ce2 D:e-3 (4lm(1-3x+5-c)A1B:e5C:e-2 D:e-3
练习： (1) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ (𝟏 + 𝟑 𝒙 ) 𝒙 (2) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ (𝟏 + 𝟐 𝒙 ) 𝟑𝒙 (3) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ (𝟏 − 𝟑 𝒙 ) 𝒙 (4) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ (𝟏 − 𝟐 𝒙 ) 𝒙+5 A:𝒆 𝟑 B:𝒆 𝟔 C:𝒆 −𝟐 D:𝒆 =( ) 𝟐 =( ) =( ) =( ) A:𝟏 B:𝒆 𝟓 C:𝒆 −𝟐 D:e −3 A:𝟏 B:𝒆 𝟓 C:𝒆 −𝟐 D:e −3 A:𝒆 𝟑 B:𝒆 𝟔 C:𝒆 −𝟐 D:𝒆 𝟐 A B D C
函数极限与连续 (5)lim(1+2x)x=(D)A:e e B:e5 C:e-2 D:e2 (6)lim(1-2x)元=(c）A:e B:e5 C:e-2 D:e2 (7)lim(1+tanx)cotx=(AA:e B:e5 C:e-2 D:e2
(5) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 (𝟏 + 𝟐𝒙) 𝟏 𝒙 = ( ) (6) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 (𝟏 − 𝟐𝒙) 𝟏 𝒙 = （ ） (7) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 (𝟏 + 𝒕𝒂𝒏𝒙) cotx = ( ) A:𝒆 B:𝒆 𝟓 C:𝒆 −𝟐 D:𝒆 𝟐 A:𝒆 B:𝒆 𝟓 C:𝒆 −𝟐 D:𝒆 𝟐 A:𝒆 B:𝒆 𝟓 C:𝒆 −𝟐 D:𝒆 𝟐 D C A