导数与微分 复习： 基本初等函数的导数公式 (C)'=0 (x)'=1 (x)Y'=x-1 (' =1 2vx (ax)' =axlna (e)' =ex (logax)' 、1 xlna (lnx)'=1 (sinx)' (arcsinx)' (cosx)'=-sinx =1-x -1 (tanx)' =sec2x (arccosx)' V1-x2 (cotx)'=-csc2x (arctanx)' -1 (secx)' 1+x2 =secxtanx -1 (cscx)'=-cscxcotx (arccotx)' = 1+x2
复习： 基本初等函数的导数公式 𝐶 ′ = 0 (𝑥 𝜇 )’=𝜇𝑥 𝜇−1 (𝑎 𝑥 )’=𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 (𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥)’= 1 𝑥𝑙𝑛𝑎 (𝑠𝑖𝑛𝑥)’=𝑐𝑜𝑠𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = −𝑠𝑖𝑛𝑥 (𝑡𝑎𝑛𝑥)’=𝑠𝑒𝑐2𝑥 (𝑐𝑜𝑡𝑥)′ = −𝑐𝑠𝑐 2𝑥 (𝑠𝑒𝑐𝑥)’=𝑠𝑒𝑐𝑥tan𝑥 (𝑐𝑠𝑐𝑥)′ = −𝑐𝑠𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑥 ′ = 1 ( 𝑥)’= 1 2 𝑥 (𝑒 𝑥 )’=𝑒 𝑥 (𝑙𝑛𝑥)’=1 𝑥 (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥)’= 1 1−𝑥 2 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)’= −1 1−𝑥 2 (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥)’= 1 1+𝑥 2 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑥)’= −1 1+𝑥 2
第八讲 高阶导数
第八讲 高 阶 导 数
导数与微分 一高阶导数 1、我们再来认识一个概念—一 高阶导数的概念 (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx 是sinx连续求两次导数的结果，称为函数sinx的二阶导数。 (sinx)"=((sinx)')=(cosx)'=-sinx 一般来说，如果函数f(x)的导函数f'(x)仍然可导 则称f'(x)的导数为原来函数f(x)的二阶导数。 记为f"(x)=(f'(x)
1、我们再来认识一个概念—— 高阶导数的概念 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝒄𝒐𝒔𝒙)′ = −𝒔𝒊𝒏𝒙 是𝒔𝒊𝒏𝒙连续求两次导数的结果, 称为函数𝒔𝒊𝒏𝒙的二阶导数。 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′′ = 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′ ′ = (𝒄𝒐𝒔𝒙)′ = −𝒔𝒊𝒏𝒙 一般来说，如果函数𝒇(𝒙)的导函数𝒇′(𝒙)仍然可导 则称𝒇 ′ 𝒙 的导数为原来函数𝒇 𝒙 的二阶导数。 记为𝒇 ′′ 𝒙 = (𝒇 ′ 𝒙 )′ 。 一.高阶导数
导数与微分 推而广之 设f(x)的n一1阶导数存在，它任然是x的函数，若它仍然可 导，则称它的导数为原来函数的阶导数。 n阶导数的记号为 f"(x),y”,f"(x),ym, d2f(x) d2y dx2 dx2 =品 f(4)(x),y(4),f((x),yn), dnf(x) dny dxn dxn ym=0-,器-品 定义把n(n≥2)阶导数称为高阶导数
推而广之 设𝒇(𝒙)的𝒏 − 𝟏阶导数存在，它任然是𝒙的函数，若它仍然可 导，则称它的导数为原来函数的𝒏阶导数。 𝒏阶导数的记号为 ，𝒇 (𝒏) (𝒙) ，𝒚 (𝒏) ， 𝒅 𝒏𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝒏 ， 𝒅 𝒏𝒚 𝒅𝒙 𝒏 𝒚 (𝒏) = 𝒚 𝒏−𝟏 ′ ， 𝒅 𝒏𝒚 𝒅𝒙 𝒏 = 𝒅 𝒅𝒙 ( 𝒅 𝒏−𝟏𝒚 𝒅𝒙 𝒏−𝟏 ) 𝒇 (𝟒) (𝒙) ，𝒚 (𝟒) ，𝒇 ′′′ 𝒇 𝒙 ， 𝒚′′′ ′′ 𝒙 ，𝒚′′ ， 𝒅 𝟐𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 ， 𝒅 𝟐𝒚 𝒅𝒙 𝟐 = 𝒅 𝒅𝒙 ( 𝒅𝒚 𝒅𝒙) 定义 把𝒏 𝒏 ≥ 𝟐 阶导数称为高阶导数
导数与微分 例1.求y=x+3x2-V3的n阶导数： 解：y'=(x6+3x2-V3)'=6x5+6x y"=(6x5+6x)=6×5x4+6 y"=(6×5x4)=6×5×4x3 y(4=6×5×4×3x2 y(5)=6×5×4×3×2x y(6)=6×5×4×3×2=6! y(⑦)=0 . y(m=0 (n>6)
例1. 求 𝒚 = 𝒙 𝟔 + 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟑的𝒏阶导数; 解: 𝒚′ = (𝒙 𝟔+𝟑𝒙 𝟐 − 𝟑)′ = 𝟔𝒙 𝟓 + 𝟔𝒙 𝒚′′ = (𝟔𝒙 𝟓+𝟔𝒙)′ = 𝟔 × 𝟓𝒙 𝟒 + 𝟔 𝒚′′′ = (𝟔 × 𝟓𝒙 𝟒 )’=𝟔 × 𝟓 × 𝟒𝒙 𝟑 𝒚 (𝟒)=𝟔 × 𝟓 × 𝟒 × 𝟑𝒙𝟐 𝒚 (𝟓)=𝟔 × 𝟓 × 𝟒 × 𝟑 × 𝟐𝒙 𝒚 (𝟔) = 𝟔 × 𝟓 × 𝟒 × 𝟑 × 𝟐 = 𝟔! 𝒚 (𝟕) = 𝟎 𝒚 (𝒏) = 𝟎 (𝒏 > 𝟔)
导数与微分 练习：求y=xn的n阶导数； A:y(n)=n! B:y(n+1)=n! C:y+)=(n+1)! D:y"=4!
练习：求 𝒚 = 𝒙 𝒏的𝒏阶导数; A：y (𝒏) = 𝒏! C：y (𝒏+𝟏) = (𝒏 + 𝟏)! B：y (𝒏+𝟏) = 𝒏! D：y ′′′′ = 𝟒!
导数与微分 例2.求y=ex的n阶导数； 解：y=(ex)'=ex y"=(e)'=ex y(n)ex
例2. 求 𝒚 = 𝒆 𝒙的𝒏阶导数; 𝒚′ = (𝒆 𝒙 )′ = 𝒆 𝒙 𝒚′′ = (𝒆 𝒙 )′ = 𝒆 𝒙 . 𝒚 (𝒏) = 𝒆 𝒙 解:
导数与微分 例3.求y=2x的n阶导数； 解：y=(2x)'=2xln2 y"=(2xln2)'=2x(ln2)2 y"=[2x(ln2)2]'=2*(ln2)3 ym=[2x(ln2)n-1]'=2xQn2)
例3. 求 𝐲 = 𝟐 𝒙的𝒏阶导数; 𝒚′ = (𝟐 𝒙 )′ = 𝟐 𝒙 𝒍𝒏𝟐 𝒚′′ = (𝟐 𝒙 𝒍𝒏𝟐)′ = 𝟐 𝒙 (𝒍𝒏𝟐) 𝟐 𝒚 ′′′ = [𝟐 𝒙 (𝒍𝒏𝟐) 𝟐 ]′=𝟐 𝒙 (𝒍𝒏𝟐) 𝟑 . 𝒚 (𝐧) = [𝟐 𝒙 𝒍𝒏𝟐) 𝒏−𝟏 ′ = 𝟐 𝒙 (ln𝟐) 𝒏 解:
导数与微分 练习：求y=3x的n阶导数： A:y(n)=(3xIn3)n B:ym=3x(ln3)” C:ym）=(3x)nLn3 D:y3)=3x(ln3)3
练习：求 𝒚 = 𝟑 𝒙的𝒏阶导数; A：y (𝒏) = (𝟑 𝒙 𝒍𝒏𝟑) 𝒏 C：y (𝒏) = (𝟑 𝒙 ) 𝒏 𝒍𝒏𝟑 B：y (𝒏) = 𝟑 𝒙 (𝒍𝒏𝟑) 𝒏 D：y (𝟑) = 𝟑 𝒙 (𝒍𝒏𝟑) 𝟑
导数与微分 例4.求y=sinx的n阶导数； 解：y=(stnx)'=cosx=sin(+x) y"=(cosx)=-sinx sin( y=(-sinx)'=-cosx=sin(+ y④=(-cosx)y=simx=sin(经+x) nπ 以四为周期循环 yom）=sin(2+) y(25)=y(4x6+1)=y=cosx sin() 2019m+xX) y2019)=y4x504+3)=y”=-c0sx=sin(2
例4. 求 𝐲 = 𝒔𝒊𝒏𝒙的𝒏阶导数; 𝒚′ = (𝒔𝒊𝒏𝒙)′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒚 ′ ′ = (𝒄𝒐𝒔𝒙)′ = −𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒚 ′ ′′ = (−𝒔𝒊𝒏𝒙)′ = −𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒚 (𝟒) = (−𝒄𝒐𝒔𝒙)′ = 𝒔𝒊𝒏𝒙 以四为周期循环 𝒚 (𝟐𝟓) = 𝒚 (𝟒×𝟔+𝟏) = 𝒚 ′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒚 (𝟐𝟎𝟏𝟗) = 𝒚 (𝟒×𝟓𝟎𝟒+𝟑) = 𝒚 ′′′ = −𝒄𝒐𝒔𝒙 解: = 𝒔𝒊𝒏( 𝝅 𝟐 + 𝒙) = 𝒔𝒊𝒏( 𝟐𝝅 𝟐 + 𝒙) = 𝒔𝒊𝒏( 𝟑𝝅 𝟐 + 𝒙) = 𝒔𝒊𝒏( 𝟒𝝅 𝟐 + 𝒙) = 𝒔𝒊𝒏( 𝟐𝟓𝝅 𝟐 + 𝒙) = 𝒔𝒊𝒏( 𝟐𝟎𝟏𝟗𝝅 𝟐 + 𝒙) 𝒚 (𝒏) = 𝒔𝒊𝒏( 𝒏𝝅 𝟐 + 𝒙)