第四讲 换元积分法
第四讲 换元积分法
不定积分 1.基本积分公式 (8) sinxdx =-cosx +c (1) kdx=kx+c (9) cosxdx sinx +c xu+1 (2) xudx u+1 +c(u≠-1) (10) sec2xdx=tanx+c (3) -dx =Inx+c (11) csc2xdx =-cotx +c (4) exdx =ex+c (12) secxtanxdx secx +c Q (5) axdx +c(a>0,a≠1) Ina (13) cscxcotxdx =-cscx +c 1 1 (6) dx=-+c (14) dx arcsinx +c X V1-x2 dx=2vx+c (15) 2 dx arctanx +c
(2) න 𝑥 𝑢𝑑𝑥 = 𝑥 𝑢+1 𝑢 + 1 + 𝑐 (𝑢 ≠ −1) (1) න 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 (3) න 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 |𝑥| + 𝑐 (4) න 𝑒 𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐 (5) න 𝑎 𝑥𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 + 𝑐 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) (6) න 1 𝑥 2 𝑑𝑥 = − 1 𝑥 + 𝑐 (9) න 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐 (8) න 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 (10) න 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐 (11) න 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐 (12) න 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥𝑑𝑥 = sec𝑥 + 𝑐 (13) න 𝑐𝑠𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑐 (14) න 1 1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐 (15) න 1 1 + 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐 (7) න 1 𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑥 + 𝑐 1.基本积分公式
不定积分 2.常用公式 ∫xk=ax+I+c ∫2axa-2=x-hmx++c ∫于-ax=e-1+-号-+a++c 年k=a=小e-x+1-2-号-受+-mxt+c
2.常用公式 න 𝟏 𝟏 + 𝒙 𝒅𝒙 = න 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝒅𝒙 = න 𝒙 𝟐 𝟏 + 𝒙 𝒅𝒙 න 𝒙 𝟑 𝟏 + 𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏 𝒙 + 𝟏 + 𝑪 න 𝒙 + 𝟏 − 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒅 𝒙 =න(𝟏 − 𝟏 𝟏 + 𝒙 )𝒅𝒙 = 𝒙 − 𝒍𝒏|𝒙 + 𝟏| + 𝑪 = න 𝒙 𝟐 − 𝟏 + 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = න(𝒙 − 𝟏 + 𝟏 𝟏 + 𝒙 )𝒅𝒙 = 𝒙 𝟐 𝟐 − 𝒙 + 𝒍𝒏 𝒙 + 𝟏 + 𝑪 = න 𝒙 𝟑 + 𝟏 − 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = න(𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟏 − 𝟏 𝟏 + 𝒙 )𝒅𝒙 = 𝒙 𝟑 𝟑 − 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝒙 − 𝒍𝒏 𝒙 + 𝟏 + 𝑪
不定积分 1 引例： 解： 令vx=t,x=t2,dx=2tdt 原武-∫1+2d: t+1-1dt =24 =2t-2ln1+t+C =2√x-2lnl1+√x+C
න 𝟏 𝟏 + 𝒙 引例： 𝒅𝒙 令 𝒙 = 𝒕, 𝒙 = 𝒕 𝟐 解： ,𝒅𝒙 = 𝟐𝒕𝒅𝒕 = න 𝟏 𝟏 + 𝒕 𝟐𝒕𝒅𝒕 = 𝟐 න 𝒕 + 𝟏 − 𝟏 𝟏 + 𝒕 𝒅𝒕 = 𝟐𝒕 − 𝟐𝒍𝒏 |𝟏 + 𝒕| + 𝑪 = 𝟐 𝒙 − 𝟐𝒍𝒏 |𝟏 + 𝒙| + 𝑪 原式
不定积分 不3第二类换元积分法 f)drx=四 fl((dt 积分 F(t)+C 回代t=91(四F[91(x】+C
න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 න 𝒇[𝝋 𝒕 ]𝝋′(𝒕)𝒅𝒕 𝑭 𝒕 + 𝑪 𝑭[𝝋−𝟏 𝒙 ] + 𝑪 3.第二类换元积分法 令𝒙 = 𝝋(𝒕) 积分 回代𝒕 = 𝝋−𝟏 (𝒙)
不定积分 例1：求下列不定积分.（四∫ 1 1+猴 解：令V=t,x=t3,dx=3t2dt 原武=7+32ar 1+t 3(2-t+m1+t0+C = -3F+3m1+D+c
例1：求下列不定积分. (𝟏) න 𝟏 𝟏 + 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 令𝟑 𝒙 = 𝒕, 𝒙 = 𝒕 𝟑 ,𝒅𝒙 = 𝟑𝒕 𝟐 解： 𝒅𝒕 = න 𝟏 𝟏 + 𝒕 𝟑𝒕 𝟐𝒅𝒕 = 𝟑 න 𝒕 𝟐 − 𝟏 + 𝟏 𝟏 + 𝒕 𝒅𝒕 = 𝟑( 𝒕 𝟐 𝟐 − 𝒕 + 𝒍𝒏 |𝟏 + 𝒕|) + 𝑪 = 𝟑 𝟐 𝟑 𝒙 𝟐 − 𝟑 𝟑 𝒙 + 𝟑𝒍𝒏 |𝟏 + 𝟑 𝒙|) + 𝑪 原式
不定积分 1 2、 dx +V成 解：令x=t,x=t6,dx=6t5dt 原武-厂e十6tat -6fii1a 1+t t3 t2 =6(32+t-n1+tD+C =2v-3x+6x-6lm|1+)+C
(𝟐) න 𝟏 𝒙 + 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 令𝟔 𝒙 = 𝒕, 𝒙 = 𝒕 𝟔 ,𝒅𝒙 = 𝟔𝒕 𝟓 解： 𝒅𝒕 = න 𝟏 𝒕 𝟑 + 𝒕 𝟐 𝟔𝒕 𝟓𝒅𝒕 = 𝟔 න 𝒕 𝟑 + 𝟏 − 𝟏 𝟏 + 𝒕 𝒅𝒕 = 𝟔( 𝒕 𝟑 𝟑 − 𝒕 𝟐 𝟐 + 𝒕 − 𝒍𝒏 |𝟏 + 𝒕|) + 𝑪 = 𝟐 𝒙 − 𝟑 𝟑 𝒙 + 𝟔 𝟔 𝒙 − 𝟔𝒍𝒏 |𝟏 + 𝟔 𝒙|) + 𝑪 原式
不定积分 练习 =V2x-1-ln|1+V2x-1+C ②1+x+“ 3 2√x+1)2-33x+1+3m1+x+10+C
(𝟏) න 𝟏 𝟏 + 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 (𝟐) න 𝟏 𝟏 + 𝟑 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 练习 = 𝟐𝒙 − 𝟏 − 𝒍𝒏 |𝟏 + 𝟐𝒙 − 𝟏| + 𝑪 = 𝟑 𝟐 𝟑 (𝒙 + 𝟏) 𝟐− 𝟑 𝟑 𝒙 + 𝟏 + 𝟑𝒍𝒏 |𝟏 + 𝟑 𝒙 + 𝟏|) + 𝑪
不定积分 例2：求下列不定积分。 解：令vx-1=t,x=t2+1,dx=2tdt 原武=1+22dr 2 1+t2 =2t-2 arctant+C▣代Vx-1=t =2vx-1-2arctanvx-1+C
(𝟏) න 𝒙 − 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 例2：求下列不定积分. 解： 令 𝒙 − 1 = 𝒕, 𝒙 = 𝒕 𝟐 +1,𝒅𝒙 = 𝟐𝒕𝒅𝒕 原式 = න 𝒕 𝟏 + 𝒕 𝟐 𝟐𝒕𝒅𝒕 = 𝟐 න 𝒕 𝟐 + 𝟏 − 𝟏 𝟏 + 𝒕 𝟐 𝒅𝒕 = 𝟐𝒕 − 𝟐𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒕 + 𝑪 = 𝟐 𝒙 − 1 − 𝟐𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝒙 − 1 + 𝑪 回代 𝒙 − 1 = 𝒕
不定积分 1 解：令Vx=t,x=t2,dx=2tdt 原武-J:+2dr =2ln1+t+C 回代vx=t =2lnl1+√x|+C
(𝟐) න 𝟏 𝒙 + 𝒙 𝒅𝒙 解： 令 𝒙 = 𝒕, 𝒙 = 𝒕 𝟐 ,𝒅𝒙 = 𝟐𝒕𝒅𝒕 原式 = න 𝟏 𝒕 + 𝒕 𝟐 𝟐𝒕𝒅𝒕 = 𝟐 න 𝟏 𝟏 + 𝒕 𝒅𝒕 = 𝟐𝒍𝒏|𝟏 + 𝒕| + 𝑪 = 𝟐𝒍𝒏|𝟏 + 𝒙| + 𝑪 回代 𝒙 = 𝒕