第二讲 旋转体的体积
定积分及其应用 第二讲 旋转体的体积
定积分及其应用 定积分的应用 1 复习平面图形面积的求法 、 2 定积分在几何上的应用 、 3 定积分在物理上的应用
定积分及其应用 1 复习平面图形面积的求法 、 3 、 定积分在物理上的应用 2 、 定积分在几何上的应用 一、定积分的应用
定积分及其应用 复习.1.直角坐标系下的面积计算， (4)由上下两条曲线y=f(x),y=g(x)f(x)>g(x)及 x=a,x=b所围图形（如图）面积微元： dA [f(x)-g(x)]dx 图形面积为 y=f(x) dA A=["If(x)-g(x)]dx =g(x) 0 axx+△x
定积分及其应用 复习.1.直角坐标系下的面积计算. 图形面积为 O ᵉ = ᵈ (ᵉ ) y ᵉ = ᵈ(ᵉ ) a x b x ᵅ ᵃ
定积分及其应用 2.直角坐标系下的面积计算 由左右两条曲线x=p(y),x=y)及x=c,x=d所围图 形（如图）面积微元 dA=((y)-(y))dy d 图形面积为 x=v(y) X三( e(y) A=Ip)-(y)ldy y+d dA X 0
定积分及其应用 2.直角坐标系下的面积计算. 图形面积为 O ᵆ ᵆ ᵅ ᵆ + ᵅᵆ ᵆ ᵅ ᵉ = ᵴ (ᵉ ) ᵅ ᵃ
定积分及其应用 一、复习引入： 圆柱体体积： r 2 V=πrh 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的 立体.这直线叫做旋转轴
定积分及其应用 一、复习引入： 圆柱体体积: ℎ ᵅ 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的 立体．这直线叫做旋转轴． ᵄ = ᵰ ᵅ 2 ℎ
定积分及其应用 圆柱 环形圆柱 圆锥 圆台 球体 V=ar h V=Lz 2 V=4r3 3 3 V=π(R-r)2h V= 3π(R2+Rr+r2)h
定积分及其应用 圆柱 环形圆柱 圆锥 圆台 球体 ᵄ = ᵰ ᵅ 2 ℎ ᵄ = 1 3 ᵰ ᵅ 2 ℎ ᵄ = 4 3 ᵰ ᵅ 3
定积分及其应用 旋转体的特点 1.在区间D上旋转体的体积具有对区间的可加性， 2.任何一个垂直于旋转轴的平面截旋转体所得的截口图形均为圆. y(x) 0
定积分及其应用 旋转体的特点 1.在区间D上,旋转体的体积具有对区间的可加性. 2.任何一个垂直于旋转轴的平面截旋转体所得的截口图形均为圆. O a b x y yf (x)
定积分及其应用 一般地，如果旋转体由连续曲线y=f(x)、直线x=a、a=b及x 轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积多少？ 1如图所示，x为积分变量，区间为[a,b].y B 2.在[a,b]上任取一个小区间[x,x+dx] A y=f(x) 则此小区间上的小曲边体形绕x轴旋转 而成的薄片的体积微元为 衣十万 dV=π[f(x)]2dx 3.在[α，b]上写出定积分表达式为 v=fxUfOPdx
定积分及其应用 ᵄ ᵄ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ + ᵅᵆ ᵃ ᵃ ᵄ ᵆ = ᵅ(ᵆ )
定积分及其应用 举例 连接坐标原点0及点P(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一 个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为的圆锥 体。计算这圆锥体的体积。 解： 直线0P方程为 y-Ex 取积分变为量x,xE[O,h] 在0，h]上任取一个小区间[x,x+dx] 以dx为底的窄曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片体 积微元为： aw=听x 防求圆维体的体积为：V=心m后Pr=爱x1日-m2h 0 3
定积分及其应用 举 例 ＜一＞ x y O h r 解: 所求圆锥体的体积为: ᵆ + ᵅᵆ ᵆ ᵆ = ᵅ ℎ ᵆ
定积分及其应用 类似地，由曲线x=p(y)、直线y=c,y=d(c<)与y 轴所围成的曲边梯形，绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为 v=πoord v+d x=o(y) X
定积分及其应用 ᵆ ᵄ ᵆ ᵅ ᵅ ᵆ = ᵱ (ᵆ ) ᵆ ᵆ + ᵅᵆ