第三讲 微积分基本公式
定积分及其应用 第三讲 微积分基本公式
定积分及其应用 一问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动已知速度v=v(t)是时间间隔[T1,T2]上t 的一个连续函数，且v(t)≥0，求物体在这段时间内所经过的路程. 变速直线运动中路程为片v(d)dt S v(t) 另一方面这段路程可表示为S(T2)一S(T1) 2v()dt=5(T2)-S(T1) 其中s'(t)=v(t) O T T,t
定积分及其应用 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 一.问题的提出 ᵄ ᵆ 1 ᵄ 2 ᵆ ᵄ ᵆ (ᵆ)
定积分及其应用 二积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点， 考察积分 FF(dt 如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每个取定的x值， 定积分有一个对应值，所以它在[α，b]上定义了一个函数， 记中(x)=∫f(t)dt积分上限函数
定积分及其应用 积分上限函数 二.积分上限函数及其导数
定积分及其应用 1.积分上限函数的性质 定理1 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数 中(x)=f(t)dt在[a,b]上具有导数，且它的导数是： (xf(t)dt=f(x) (a≤x≤b) 证中(x+Ax)=+arf(d)dt △Φ=Φ(x+△x)-中(x) -f"rodt-frod XX+△Xb
定积分及其应用 证 ᵆ ᵆ ᵄ ᵄ ᵆ ᵆ + ᵮ ᵆ ᵄ ᵯ (x) 1. 积分上限函数的性质
定积分及其应用 X+△x =faa+厂foi-Ka x+△x f(t)dt 积分中值定理 =f()△x(在x与x+△x之间) 0a xξX+△xb △Φ =f() △X △Φ Ar 0 Ax lim =f(x) 即p'(x)=Jf(t)dt=f(x) (a≤x≤b)
定积分及其应用 ᵆ ᵆ ᵄ ᵄ ᵆ ᵆ + ᵮ ᵆ ᵄ 积分中值定理 ᵯ (x) ᵰ
定积分及其应用 它说明，中(x)是f(x)的一个原函数，从而有 如下的另一个重要定理： 定理2如果f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x) 的原函数一定存在，Φ(x)=f(x)dx就是f(x) 在[a,b]的一个原函数， 这个定理说明连续函数的原函数一定存在
定积分及其应用 这个定理说明连续函数的原函数一定存在
定积分及其应用 说明 (x)=[f(x)dx]'=f(x) '(x)=[f(t)dt]'=f(x) 定积分表示一个数值，与积分变量用什么字母表示无关。 p'(x）=φ6=a[Uifa则 dx dx =fx) a-U2a=0
定积分及其应用 定积分表示一个数值，与积分变量用什么字母表示无关。 说明
定积分及其应用 例1求下列导数： (1)φ(x)=∫sintdt (2)(x)=sin3tdt (3)Φ(x)=∫2sin3tdt 解：(1)Φ'(x)=sinx (2)'(x)=-[S*sin3tdt]=-sin3x (3)Φ'(x)=[sin3tdt]'=0
定积分及其应用 例1 求下列导数： 解：
定积分及其应用 (4)(x)=*cosxdx (5)Φ(o)=2stin3tdt 解：(4)Φ'(x)=cosx (5)(x)=sin3tdt+sin3tdt Φ'(x)=-sin3x+sin(3×2x)(2x)' =-sin3x+2sn6x
定积分及其应用 解： = − ᵆᵅᵅ 3ᵆ + 2ᵆᵅᵅ 6ᵆ
定积分及其应用 例2计算p(y)=sint严dt在x=0及x=牙 处的导数 解因为'()=&sindt=-sinx2 所以Φ'(0)=sin0=0 p'(9）-sin=贤
定积分及其应用 处的导数. 解:因为 所以