第四讲 定积分的在物理上的应用
定积分及其应用 第四讲 定积分的在物理上的应用
定积分及其应用 一、定积分在物理上的应用 1 复习旋转体体积 2 变力做功问题 、3 水压力 4 引力
定积分及其应用 复习旋转体体积 一、定积分在物理上的应用 1 、 3 、 水压力 2 、 变力做功问题 4 、 引力
定积分及其应用 复习.1.平面图形绕x轴旋转一周体积计算， y A y=f(x)B
定积分及其应用 ᵄ ᵄ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ + ᵅᵆ ᵃ ᵃ ᵄ ᵆ = ᵅ(ᵆ )
定积分及其应用 复习.2.平面图形绕y轴旋转一周体积计算， 由曲线x=p(y)、直线y=c,y=d(c<d)与y轴所围成的 曲边梯形，绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为 V=π[p0jdy + x=p(y) X
定积分及其应用 ᵆ ᵄ ᵆ ᵅ ᵅ ᵆ = ᵱ (ᵆ ) ᵆ ᵆ + ᵅᵆ
定积分及其应用 变力沿直线作功： 引例1：若物体在作直线运动过程中受常力F作用下从α移至b (力的方向与物体运动方向一致)，力对物体所作的功为： a 若下为变力，力对物 W=F (b-a) 体所作的功W=? 如果物体在运动的过程中所受的力下是变化的，就不 能直接使用此公式，而采用“微元法”思想
定积分及其应用 二、变力沿直线作功： ᵈ ᵈ
定积分及其应用 引例2：若物体在作直线运动过程中变力F(x)作用下从沿x轴上 由a处移到b处，求变力F(x)所作的功： F(x) 0 a xx+c 解：微元法：以x为积分变量，积分区间为[a,b]. 在区间[a,b]内任取一个小区间[x,x+dx],在[x,x+dx] 上由于变力F(x)是连续变化的故可以设想作用力F(x) 保持不变，按常力作功公式得功微元为： dw=F(x)dx 将微元dw从a到b求定积分就得到整个区间上所做的功为 w=f"F(x)dx
定积分及其应用 ᵇ ᵈ ᵈ ᵉ ᵉ ᵉ + ᵅᵆ
定积分及其应用 举例 在原点有一个带电量为+q的点电荷，它产生的电场对周围的 电荷有作用力.现有一个单位正电荷从距原点处沿射线方向 移至距原点为b处（α<b),求电场力做功.又如果把该单位电 荷移至无穷远处电场力做了多少功？ 解：取电荷移动的射线方向为x轴正向，那么电场力为 F二2 (k为常数) +q +1 取x为积分变量，积分区间为[a,b]. xx+ck 在[a,b]内取一个小区间[x,x+dx],在[x,x+dx] 上，以常力代变力的功微元为： dw k x2 dx
定积分及其应用 举 例 ＜一＞ +1 ᵇ ᵈ ᵈ ᵉ ᵉ ᵉ + ᵅᵆ
定积分及其应用 在[a,b]上写出定积分得变力所做的功为： w-l 若移至无穷远处，则所做的功为 W-ds kq b→+0∞ a 物理学中，上述移至无穷远处所做的功叫做电场在α处的电位，于是 知道电场在α处的电位为 V=kq a
定积分及其应用 若移至无穷远处,则所做的功为 ᵄ = ᵅᵅ ᵄ
定积分及其应用 举例 直径为0.2米，长为1米的汽缸内充满了压强为9.8×105牛/米的 气体.若保持温度不变，求推动活塞前进0.5米使气体压缩所做的功. 解建立坐标系如图所示.活塞面积为 S=π(0.1)2，根据波义耳定律，恒温下， 9.8103 气体的压强P与体积V的乘积为常数得， PV=k(k为常数) 当活塞移动到x处时，压缩后气体的体 x0.5 积为V=(1-x)S.所以 k k k P = (1-x)5-(1-x)0.01π Xx+dx0.5
定积分及其应用 举 例 ＜二＞ 直径为0.2米,长为1米的汽缸内充满了压强为9.8×105牛/米3的 气体.若保持温度不变,求推动活塞前进0.5米使气体压缩所做的功. 1 ᵄ 1 ᵆ ᵄ ᵆ 0.5 1 ᵆ
定积分及其应用 有已知条件，当x=0时，P=9.8×105,故 k=PV=9.8×104×0.01πS=9800πS 从而在x处作用在活塞上的压力为 k 9800πS 9800π F(x)=PS= (1-x)S(1-x)S 1-x 取x为积分变量，积分区间为0,0.51. Xx+dx0.5 在[0,0.51内取任一个小区间[x,x+dx],在[x,x+dx] 上的功微元为 dw F(x)dx= dx 9800m 1-x 于是，所求的使气体体积压缩所做的功为 dx9800xin 5 W=0 9800πlm2≈2.13×104)
定积分及其应用 于是,所求的使气体体积压缩所做的功为