第一讲 定积分的应用
高 等 数 学 在 线 开 放 课 程 定积分及其应用 第一讲 定积分的应用
高等数学在线开放课程 定积分及其应用 一、定积分的应用 1. 复习引入 2. 定积分在几何上的应用 3. 定积分在物理上的应用
高 等 数 学 在 线 开 放 课 程 定积分及其应用 1. 复习引入 3. 定积分在物理上的应用 2. 定积分在几何上的应用 一、定积分的应用
高等数学在线开放课程 定积分及其应用 一、复习引入： 例1：求由连续曲线y=f(x),直线x=a、x=b (α<b)及x轴所围成的平面图形的面积。 a)分 y=fx) b)匀 c)合 x=a x=b d)精 b
高 等 数 学 在 线 开 放 课 程 定积分及其应用 例1： a) 分 b) 匀 c) 合 d) 精 一、复习引入：
高等数学在线开放课程 定积分及其应用 一)、分 任取n-1个分点a=x0<x1<x2<.x-1<x:<.<xm=b, 把[a,b]分成若干个小区间，且过各分点作x轴的垂线，记每个 小区间长度为：△x;=x=x:-x-1,i=1,2.n f(i (二)匀 △A;≈f(5)△x;i=1,2.n 任取[Xi-1,x] Xi-1 i Xi 天
高 等 数 学 在 线 开 放 课 程 定积分及其应用 (二) 匀 （一）、分 O x y ᵆ ᵅ ᵅ(ᵰ ᵅ) ᵰ ᵅ
高等数学在线开放课程 定积分及其应用 (三)合 求和：A≈ f(ξ)△x:= 1 f(51)△x1+f(52)△x2+.+f(5n)△xn (四)精 入=max{Ax1,△x2,.,△xn} A=∑fEa=f)dx
高 等 数 学 在 线 开 放 课 程 定积分及其应用 (三) 合 (四) 精
高等数学在线开放课程 定积分及其应用 二、微元法： (1)根据问题的具体情况，选取积分变量，如x为积分变 量，并确定积分区间[a,b]: 1)选取变量x或y,∈[a,b] (2)设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任一小区间并 记为[x,x+dx],求出相应于这小区间的部分分量△F的近似 值。如果△F能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x处 的值f(x)与dx的乘积，就把f(x)dx乘积称为量F的微元且 记作dF,即dF=f(x)dx; 2)微元dF=f(x)dx
高 等 数 学 在 线 开 放 课 程 定积分及其应用 二、微元法： 1） 2）
高等数学在线开放课程 定积分及其应用 3)以所求量F的微元f(x)dx 为被积表达式，在区间[a,b]上 作定积分，得F=∫fx)dx 3) 写定积分F=f(x)dx 即为所求量F的积分表达式.这个方法通常叫做微元法. 应用方向： 平面图形的面积；体积；功；水压力等
高 等 数 学 在 线 开 放 课 程 定积分及其应用 这个方法通常叫做微元法． 应用方向： 平面图形的 面积；体积；功；水压力等． 3）
高等数学在线开放课程 定积分及其应用 2.直角坐标系下的面积计算. ①曲线y=f(x)f(x)>0),x=a,x=b及x轴所围图形 (如图)面积微元 dA f(x)dx y=f(x) 图形面积为 A=dA=f(x)dx xX+△x
高 等 数 学 在 线 开 放 课 程 定积分及其应用 2.直角坐标系下的面积计算. 图形面积为 x y o x ᵉ = ᵈ(ᵉ ) ᵅ ᵃ a b
高等数学在线开放课程 定积分及其应用 2.直角坐标系下的面积计算， ②由上下两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)>g(x)及x=a, x=b所围图形（如图）面积微元 dA=[f(x)-g(x)]dx y=f(x) 图形面积为 A=心aa=r)-9e]r =g(x) 0 axx+△x
高 等 数 学 在 线 开 放 课 程 定积分及其应用 2.直角坐标系下的面积计算. 图形面积为 O ᵉ = ᵈ (ᵉ ) y ᵉ = ᵈ(ᵉ ) a x b x ᵅ ᵃ
高等数学在线开放课程 定积分及其应用 举例 计算由两条抛物线y=x2,x=y2所围成的图形的面积。 解：所围成的图形如图所示： 两条抛物线的交点为(0,0)和(1,1)， y外 2 X三y 选取x为积分变量，积分区间为[0,1] 1 面积微元为 y=x2 dA=(vx-x2)dx 则 XX+△X A=(Vx-x2)dx X 23 1
高 等 数 学 在 线 开 放 课 程 定积分及其应用 举 例 ＜一＞ 解:所围成的图形如图所示: 面积微元为 则 ᵉ = ᵉ ᵽ ᵆ ᵄ ᵆ ᵆ ᵆ + ∆ᵆ 1 1