第三讲 微积分基本公式
第三讲 微积分基本公式
定积分及其应用 一问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动已知速度v=v(t)是时间间隔[T1,T2]上t 的一个连续函数，且v(t)≥0，求物体在这段时间内所经过的路程. 变速直线运动中路程为片v(t)dt 另一方面这段路程可表示为S(T2)-S(T1) v()dt=5(T2)-S(T1) 0T1 T2 t 其中s'(t)=v(t)
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 设某物体作直线运动已知速度𝒗 = 𝒗(𝒕)是时间间隔[𝑻𝟏, 𝑻𝟐]上 𝑡 的一个连续函数，且𝒗 𝒕 ≥ 𝟎,求物体在这段时间内所经过的路程 . �𝑻� 𝑻𝟐 𝒗 𝒕 𝒅𝒕 𝑺(𝑻𝟐) − 𝑺(𝑻𝟏) �𝑻� ∴ 𝑻𝟐 𝒗 𝒕 𝒅𝒕 = 𝑺(𝑻𝟐) − 𝑺(𝑻𝟏) 其中𝒔 ′ 𝒕 = 𝒗(𝒕) 一.问题的提出 𝑇1 𝑇2 𝑡 𝑠 𝑂 𝑣(𝑡)
定积分及其应用 二积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点， 考察积分 fe)a=人redr 如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每个取定的x值， 定积分有一个对应值，所以它在a,b1上定义了一个函数， 记Φ(x)=f(t)dt积分上限函数
记𝚽(x)= �� 𝒙 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 积分上限函数 设函数𝒇(𝒙)在区间[𝒂, 𝒃]上连续，并且设𝒙为[𝒂, 𝒃]上的一点， 考察积分 න 𝑎 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =න 𝑎 𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 如果上限𝒙在区间[𝒂, 𝒃]上任意变动，则对于每个取定的𝒙值， 定积分有一个对应值，所以它在[𝒂, 𝒃]上定义了一个函数， 二.积分上限函数及其导数
定积分及其应用 1.积分上限函数的性质 定理1 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数 中(x)=f(t)dt在[a,b]上具有导数，且它的导数是： f(t)dt=f(x) (a≤x≤b) y 证中(x+Ax)=+4xf(t)dt △Φ=中(x+△x)-中(x) fat-roat a Xx+△xb X
证 定理1 如果函数𝐟(𝐱)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数 �� =(x𝚽( 𝒙 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 在[𝒂, 𝒃]上具有导数，且它的导数是： 𝜱′(𝒙)= 𝒅 �� �𝒅� 𝒙 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇(𝒙) (𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃) 𝑥 y 𝑂 𝑎 𝑥 𝑥 + Δ𝑥 𝑏 �� = �𝜟� + �� �� 𝒙+𝜟𝒙 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 𝜟𝜱 = 𝜱 𝒙 + 𝜟𝒙 − 𝜱(𝒙) Φ(x) = න 𝒂 𝒙+𝜟𝒙 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 − න 𝒂 𝒙 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 1. 积分上限函数的性质
定积分及其应用 x+△x -roa+roa-roa X+△X = f(t)dt 积分中值定理 =f()Ax(在x与x+4x之间)O x5x+△x b △Φ △x =f() △Φ lim. △x-0△X =f(x) 即Φ'(cx)fd)dt=f) (a≤x≤b)
𝑥 y 𝑂 𝑎 𝑥 𝑥 + Δ𝑥 𝑏 Φ(x) = න 𝒂 𝒙 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 + න 𝒙 𝒙+𝚫𝒙 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 − න 𝒂 𝒙 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 = න 𝒙 𝒙+𝚫𝒙 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇(𝝃)𝚫𝒙 (𝝃在𝒙与𝒙 + 𝜟𝒙之间) 𝚫𝚽 𝚫𝒙 = 𝒇 𝝃 lim 𝚫𝒙→𝟎 𝚫𝚽 𝚫𝒙 = 𝒇 𝒙 即𝜱′(𝒙)= 𝒅 �� �𝒅� 𝒙 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇(𝒙) (𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃) 积分中值定理 𝜉
定积分及其应用 它说明，Φ中(x)是f(x)的一个原函数，从而有 如下的另一个重要定理： 定理2如果f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x) 的原函数一定存在，中(x)=∫f(x)dx就是f(x) 在[a,b]的一个原函数. 这个定理说明连续函数的原函数一定存在
它说明，𝚽(𝒙)是𝒇(𝒙) 的一个原函数，从而有 如下的另一个重要定理： 定理２ 如果𝒇(𝒙)在区间 [𝒂, 𝒃]上连续，则𝒇(𝒙) ��=(��)��,的原函数一定存在 𝒙 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 就是𝒇(𝒙) 在 [𝒂, 𝒃]的一个原函数. 这个定理说明连续函数的原函数一定存在
定积分及其应用 例1求下列导数： ao-sam t (2)(x)=["sin3idt 3()= sin3tdt 解：(1)Φ'(x)=sinx owc国=-saad=-sar (3Isin3tdt0
例1 求下列导数： (1)Φ 𝑥 = න 1 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑑𝑡 (2)Φ 𝑥 = න 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛3𝑡𝑑𝑡 (3)Φ 𝑥 = න 1 2 𝑠𝑖𝑛3𝑡𝑑𝑡 解： 1 Φ′ 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 Φ′ 𝑥 = − න 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛3𝑡𝑑𝑡 ′ = −𝑠𝑖𝑛3𝑥 3 Φ′ (𝑥) = [න 1 2 𝑠𝑖𝑛3𝑡𝑑𝑡]′ = 0
定积分及其应用 (4)(x)=, cosxdx 2x 5)6x0)=, sin3tdt 解： (4)Φ'(x)=c0Sx .2X (5))s+ sin3tdt Φ'(x)=-sin3x+sin(3×2x)(2x)' =-sin3x+2sin 6x
(4)Φ 𝑥 = න 1 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 (5)Φ 𝑥 = න 𝑥 2𝑥 𝑠𝑖𝑛3𝑡𝑑𝑡 解： 4 Φ′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 5 Φ 𝑥 = න 𝑥 0 𝑠𝑖𝑛3𝑡𝑑𝑡 + න 0 2𝑥 𝑠𝑖𝑛3𝑡𝑑𝑡 Φ′ 𝑥 = −sin3𝑥 + sin(3 × 2𝑥)(2𝑥)′ = −sin3𝑥 + 2sin 6𝑥
定积分及其应用 2计算Φ()=6sin2dt在r=0及x=受 处的导数 解因为(x)=&6stnt2dt=sinx2 所以Φ'(0)=sin0=0 (贸）=sin=号
例2 计算𝜱 𝐱 = �� 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒕 𝟐𝒅𝒕 在𝒙 = 𝟎 及𝒙 = 𝝅 𝟐 处的导数. 解:因为 所以 𝜱′ 𝒙 = 𝒅 �� �𝒅� 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒕 𝟐𝒅𝒕=sin𝒙 𝟐 𝜱′ 𝟎 = 𝒔𝒊𝐧𝟎 = 𝟎 𝜱′ 𝝅 𝟐 =sin𝝅 𝟒 = 𝟐 𝟐
定积分及其应用 例3求下列函数的导数 (1dt (a>0) 解： 这里中(x)是x的复合函数， 所以应按复合函数的求导思路来解决. (1) dΦ d cuInt du dx =0 duJa 二dt)·(注u=e t In Lex-xex-x X u er 即中'树=g'dt'=x (a>0)
例3 求下列函数的导数 (1)𝚽 x = �� 𝑒 𝑥 𝑙𝑛𝑡 𝑡 𝑑𝑡 (𝑎 > 0) 解: 这里𝚽 𝒙 是x的复合函数， 所以应按复合函数的求导思路来解决. (1) 𝑑Φ 𝑑𝑥 = ( 𝑑 𝑑𝑢 න 𝑎 𝑢 𝑙𝑛𝑡 𝑡 𝑑𝑡) ∙ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 (注𝑢 = 𝑒 𝑥 ) = 𝑙𝑛𝑢 𝑢 𝑒 𝑥 = 𝑥 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 = 𝑥 即𝚽′ ��] = (x( 𝑒 𝑥 𝑙𝑛𝑡 𝑡 𝑑𝑡 ]′ = 𝑥 (𝑎 > 0)