第十一讲 微分在近似计算中的应用
第十一讲 微分在近似计算中的应用
导数与微分 1.微分在近似计算中的应用 1.当y=f(x)在x处的导数f'(x)≠0，且I△x很小时，△y≈dy △y=f(xo+△x)-f(xo)≈f'(xo)Ax f(xo+△x)≈f(xo)+f'(xo)△x 令x+Ax=x, 2.f(x)≈fxo)+f'(x)△x
1.当𝒚 = 𝒇(𝒙)在𝒙𝟎处的导数𝒇´(𝒙𝟎 ) ≠ 𝟎,且 𝚫𝒙 很小时， 𝚫𝒚 ≈ 𝒅𝒚 𝚫𝒚 = 𝒇(𝒙𝟎 + 𝚫𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎 ) ≈ 𝒇′(𝒙𝟎 )𝚫𝒙 令𝒙𝟎 + 𝚫𝒙 = 𝒙, 𝒇(𝒙𝟎 + 𝚫𝒙) ≈ 𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝒇′(𝒙𝟎 )𝚫𝒙 𝒇(𝒙) ≈ 𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝒇′(𝒙𝟎 𝟐. )𝚫𝒙 1.微分在近似计算中的应用
导数与微分 例1： 半径为10cm的金属薄片加热后半径伸 长了0.05cm,问面积大约增大了多少？ 解：设金属薄片的面积为A,半径为r,则A=πr2. r=10cm,△r=0.05cm=dr △A≈dA=(πr2)'dr=2πrdr =2π×10×0.05≈3.14cm2 面积大约增大了3.14cm2
例1： 半径为𝟏𝟎𝒄𝒎的金属薄片加热后半径伸 长了𝟎. 𝟎𝟓𝒄𝒎，问面积大约增大了多少? 设金属薄片的面积为𝑨，半径为𝒓,则𝑨 = 𝝅𝒓 𝟐 解： . 𝒓 = 𝟏𝟎𝒄𝒎, 𝚫𝒓 = 𝟎. 𝟎𝟓𝒄𝒎 = 𝒅𝒓 𝚫𝑨 ≈ 𝒅𝑨 = (𝝅𝒓 𝟐)′𝒅𝒓 = 𝟐𝝅𝒓𝒅𝒓 = 𝟐𝝅 × 𝟏𝟎 × 𝟎. 𝟎𝟓 ≈ 𝟑. 𝟏𝟒𝒄𝒎𝟐 面积大约增大了𝟑. 𝟏𝟒𝒄𝒎𝟐
导数与微分 例2：一个外径为20cm的球，球壳的厚度为2mm,试 求球壳体积的近似值？ 解：设球壳的半径为r,体积为v=πr3 r=10cm,△r=-0.2cm=dr 1laV1≈ldwl=l(G传r3）drl=4r2drl =4π×100×0.2≈251.2cm3 答：球壳体积的近似值为251.2cm3
例2：一个外径为𝟐𝟎𝒄𝒎的球，球壳的厚度为𝟐𝒎𝒎,试 求球壳体积的近似值? 解： 𝒓 = 𝟏𝟎𝒄𝒎, 𝚫𝒓 = −𝟎. 𝟐𝒄𝒎 = 𝒅𝒓 = 𝟒𝝅 × 𝟏𝟎𝟎 × 𝟎. 𝟐 ≈ 𝟐𝟓𝟏. 𝟐𝒄𝒎𝟑 答：球壳体积的近似值为𝟐𝟓𝟏. 𝟐𝒄𝒎𝟑 . 设球壳的半径为𝒓,体积为𝐯 = 𝟒 𝟑 𝝅𝒓 𝟑 |∆𝑽|≈ 𝒅𝒗 = | 𝟒 𝟑 𝝅𝒓 𝟑 ′ 𝒅𝒓|=|4𝝅𝒓 𝟐𝒅𝒓|
导数与微分 练习与作业： 某一正立方形金属体的边长为2，当金属 受热边长增加0.01m时，体积的微分是多少？体积 的改变量是多少？
练习与作业： 某一正立方形金属体的边长为2m，当金属 受热边长增加0.01m时，体积的微分是多少？体积 的改变量是多少？
导数与微分 例3：求下列函数值的近似值： (1)V99 解： 设f()=元f')=2 x0=100,x=99,△x=99-100=-1 f(x)≈f(xo)+f'(xo)△x V99≈V100+21o-1=10-0.05=9.95
例3:求下列函数值的近似值： 解： (1) 𝟗𝟗 设𝒇 𝒙 = 𝒙, 𝒇 ′ 𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒙 𝒙𝟎=𝟏𝟎𝟎, 𝒙 = 𝟗𝟗,∆𝒙 = 𝟗𝟗 − 𝟏𝟎𝟎 = −𝟏 𝟗𝟗 ≈ 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏 𝟐 𝟏𝟎𝟎 (-1)=10-0.05=9.95 𝒇(𝒙) ≈ 𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝒇′(𝒙𝟎 )𝚫𝒙
导数与微分 (2)sin290 解：设f(x)=sinx,f'(x)=cosx x0=300,x=290,△x=290-300=-10 f(x)≈f(xo)+f'(xo)△x 5im290≈9tm300+cos300×(-1×180 =+2×(-1×）=0.4849
(𝟐)𝒔𝒊𝒏𝟐𝟗𝟎 解： 设𝒇 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙, 𝒇 ′ 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒙𝟎=𝟑𝟎𝟎 , 𝒙 = 𝟐𝟗𝟎 ,∆𝒙 = 𝟐𝟗𝟎 − 𝟑𝟎𝟎 = −𝟏 𝟎 𝒇(𝒙) ≈ 𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝒇′(𝒙𝟎 )𝚫𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝟗𝟎 ≈ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎𝟎 + cos 𝟑𝟎𝟎 × (−𝟏 × 𝝅 𝟏𝟖𝟎) = 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐 × −𝟏 × 𝝅 𝟏𝟖𝟎 ≈ 𝟎. 𝟒𝟖𝟒𝟗
导数与微分 练习与作业： (1)V98 (2) sin310
练习与作业： (1) 98 (2) 𝑠𝑖𝑛310
导数与微分 课堂小结 本次课重点讲微分的近似计算。 f(x)≈f(xo)+f'(xo)△x △y≈dyI△x很小
课堂小结 本次课重点讲微分的近似计算。 𝒇(𝒙) ≈ 𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝒇′(𝒙𝟎 )𝚫𝒙 𝚫𝒚 ≈ 𝒅𝒚 |∆x|很小