导数与微分 基本初等函数的导数公式 (C)'=0 (x)=1 (x)'=ux-1 (Vx)'=1 (ax)'=axlna x (ex)'=ex (logax)' 1 xlna (Inx)'= (sinx)' x (cosx)'=-sinx (arcsinx)' =1-x网 (tanx)' =sec2x -1 (arccosx)' (cotx)'=-csc2x (secx)' (arctanx)' 、1 =secxtanx 1+x2 (cscx)=-cscxcotx (arccotx)' 1 1+x2
导数与微分 基本初等函数的导数公式
第五讲 复合函数的求导法则
导数与微分 第五讲 复合函数的求导法则
导数与微分 1.复习：运用求导法则求导数 [u(x)·v(x)]'=u'(x)v(x)+v'(x)u(x) u'(x)v(x)-v'(x)u(x) v2(x) v(x)≠0 (1）y=2arnx y'=20g 2x sinx (2)y= 1+x2 y=(1+)cosx-2xsinx (1+x2)2
导数与微分 1.复习：运用求导法则求导数 （ᵼ ）ᵉ = ᵽ ᵈᵉᵉᵉ ᵉᵈᵈ ᵉ ᵉ (ᵉ ) ≠ ᵼ ᵉ ′ = ᵽ ᵈᵉᵉ ᵽ ᵉ
导数与微分 2.复合函数求导法则 (n2x)'卡aB2x 引例：y=sin2x求y, fy sinu sin2x=2sinxcosx u=2x (sin2x)'=2(sinxcosx)' 更=(Y=au du du =2(sinx)'cosx +2sinx(cosx)' dx =(2x)'=2 2 2 =20s x-2sin x 巫-少.d c d c 20 2x =2ou =20 2x
导数与微分 2.复合函数求导法则 引例： (ᵉᵈᵈ ᵽ ᵉ )′ ≠ ᵈᵉᵉ ᵽ ᵉ ᵈᵉ ᵈᵉ = (ᵉᵈᵈᵉ )′ = ᵈᵉᵉᵉ ᵈᵉ ᵈᵉ = ᵈᵉ ᵈᵉ ∙ ᵈᵉ ᵈᵉ = ᵽ ᵈᵉ ᵉ ᵽ ᵉ − ᵽ ᵉᵈᵈ ᵽ ᵉ = ᵽ ᵈᵉᵉ ᵽ ᵉ = ᵽ ᵈᵉᵉᵉ = ᵽ ᵈᵉᵉ ᵽ ᵉ
导数与微分 定理1：如果函数u=p(x),在点x可导，函数y=f(u)在 相应的点u=p(x)可导，则复合函数y=f[p(x)]在点x 可导，即 y=f(u) yu'=f"(u) lu=p(x) lux"=g(x) 且其导数为： dx auP dy dy du
导数与微分 且其导数为:
导数与微分 例1：求下列函数的导数： (1)y=c0sx2 (2)y=sin2x=(sinx)2 解： 解：了y=u2 (u sinx 更=业.=(au)'(x)' 2 dy du dy ddd dx =(u2)"(sinx) du dx =-Su·2x =2u·ax 2 d=2xsin x k d=2csinc =sin 2x d
导数与微分 例1：求下列函数的导数： ᵈᵉ ᵈᵉ = ᵈᵉ ᵈᵉ ∙ ᵈᵉ ᵈᵉ = (ᵈᵉᵉᵉ )′(ᵉ ᵽ )′ = − ᵉᵈᵈᵉ ∙ ᵽ ᵉ ᵈᵉ ᵈᵉ = − ᵽ ᵉᵉᵈᵈ ᵉ ᵽ 解： = ᵽ ᵉ ∙ ᵈᵉᵉᵉ ᵈᵉ ᵈᵉ = ᵽ ᵈᵉᵉᵉᵉᵈᵈᵉ = ᵉᵈᵈ ᵽ ᵉ 解：
导数与微分 练习1：求下列函数的导数： [y sinu 2 (1)y=sinx2 lu=x2 d=2xom =2xx (2)y cos2x y=u2 (u=cosx d=-2uin =-2amsin c d=-sin2x
导数与微分 练习1：求下列函数的导数： ᵅᵆ ᵅᵆ = 2ᵆᵅᵅᵆᵆ = 2ᵆᵅᵅᵆ ᵆ 2 ᵅᵆ ᵅᵆ = − 2ᵆᵆᵅᵅᵆ = − 2ᵅᵅᵆᵆᵆᵅᵅᵆ ᵅᵆ ᵅᵆ = − ᵆᵅᵅ 2ᵆ
导数与微分 (3)y=(1+x)5 (4)y=V1+x2 解：y=u 解： y=vu (u=1+x (u=1+x2 巫=巫，也 巫=.山 c dd ddd 5 =(u)′(1+x)' =(Vo)'(1+x2)Y 1 =5w4一代入u=1+x · 2x 代入 2vu+ dy u=1+x2 =51+x) X d dx V1+x2
导数与微分 = ᵽ ᵉ ᵽ ᵈᵉ ᵈᵉ = ᵽ (ᵼ + ᵉ ) ᵽ 解： ᵈᵉ ᵈᵉ = ᵈᵉ ᵈᵉ ∙ ᵈᵉ ᵈᵉ 解： ᵈᵉ ᵈᵉ = ᵈᵉ ᵈᵉ ∙ ᵈᵉ ᵈᵉ = (ᵉ ᵽ )′(ᵼ + ᵉ )′
导数与微分 练习2：求下列函数的导数： (1)y=(1+x)3 y=u3 (u=1+x =301+x)2 & y=va dy X (2)y=V2+x2 (u=2+x 2 dx :V2+x2 (3)y=ln(1+x2) 了y=lnu dy 2x (u=1+x2 dx 1+x2
导数与微分 练习2：求下列函数的导数： ᵈᵉ ᵈᵉ = ᵽ (ᵼ + ᵉ ) ᵽ
导数与微分 定理2：如果函数y=f[p((x)】在点x可导， y=f(u)(yu'=f"(u) 且u=p(v) u,'=p'(v) (v=(x) vx'='(x) 则其导数为： dy dy du dv dxdu'dv dx =f'(u)·p'(v)·'(x)
导数与微分 = ᵈ′(ᵉ ) ∙ ᵴ ′(ᵉ ) ∙ ᵴ ′(ᵉ ) 则其导数为: