不定积分 1 1 dx=2(2x+3) d(sinx)=cosxdx d(Inx)=二dx dx=d(3x+5) d(cosx )sinxdx d(ex )=exdx dx=d(5x-5) d(tanx sec2xdx 1 d(2x ) dx dx=d(4-5x) Vx d(cotx )csc2xdx 1 d(-)= xdx =d( X xzdx d(secx )secxtanxdx x2dx d( d(arctanx)=1+xidx d(cscx)=cscxcotxdx 3xdx d( 1 durcsinx)=dx
𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒅(𝟐𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 =_𝒅(𝟑𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙 =_𝒅(𝟓𝒙 − 𝟓) 𝒅𝒙 =_𝒅(𝟒 − 𝟓𝒙) 𝒙𝒅𝒙 = 𝒅( ) 𝒙 𝟐𝒅𝒙 = 𝒅( ) 𝟑 𝒙𝒅𝒙 = 𝒅( ) 𝒅( ) = 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒔𝒆𝒄𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒄𝒔𝒄𝒙𝒄𝒐𝒕𝒙𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 −𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 −𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒙 −𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒅( ) = 𝒆 𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝒆 𝒙 𝒍𝒏|𝒙| 𝒅( ) = 𝟏 𝒙 2 𝒙 𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝟏 𝒙 𝟐 − 𝒅𝒙 1 𝑥 𝒅( ) = 𝟏 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝟏 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙
第一讲 不定积分概念
第一讲 不定积分概念
不定积分 在微分学中，我们讨论了求已知函数的导数（或微分）问题。 但是在许多问题中常常需要解决相反的问题，即由已知某函 数的导数（或微分），去求原来的函数。 已知f(x),(?)'=f(x)。 即已知s'(t)=2t,求s(t) 由导数公式(t2)=2t,易知s(t)=t2 已知y'求y
在微分学中，我们讨论了求已知函数的导数（或微分)问题。 但是在许多问题中常常需要解决相反的问题，即由已知某函 数的导数（或微分），去求原来的函数。 易知𝒔(𝒕) = 𝒕 𝟐 已知𝒇(𝒙), ? ′ = 𝒇(𝒙)。 由导数公式 𝒕 𝟐 ′ = 𝟐𝒕, 已知𝒚′,求𝒚. 即已知𝒔 ′ (𝒕) = 𝟐𝒕,求𝒔(𝒕)
不定积分 一不定积分的概念 1.原函数 定义1：设f(x)是定义在区间1上的已知函数， 若存在函数F(x)使得 F'(x)=f(x)dF(x)=f(x)dx 则称F(x)是f(x)的一个原函数。 如：(lnx)'=是x∈(0，+o), 所以lnx是在区间(0，+o)上的一个原函数
定义1：设𝒇(𝒙)是定义在区间𝑰上的已知函数， 则称 𝑭(𝒙) 是 𝒇(𝒙) 的一个原函数。 如:(𝒍𝒏𝒙)′ = 𝟏 𝒙 ,𝒙 ∈ 𝟎, +∞ , 所以𝒍𝒏𝒙是 𝟏 𝒙 在区间(𝟎, +∞)上的一个原函数. 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 或𝑑𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 若存在函数𝑭(𝒙)使得 一.不定积分的概念 1.原函数
不定积分 再例如：(sinx)'=cosx所以sinx是coSx在区间 (-∞，+∞)上的一个原函数。 对于原函数，我们先来解决两个问题： 问题1： 如果一个函数的原函数存在，那么是否只有一 个呢？ 问题2： 是否所有的函数都有原函数？如果不是，那什么 样的函数一定存在原函数？ 对于问题1，我们先来看一个例子
对于原函数，我们先来解决两个问题： 问题1: 如果一个函数的原函数存在，那么是否只有一 个呢？ 问题2: 是否所有的函数都有原函数？如果不是，那什么 样的函数一定存在原函数？ 对于问题1,我们先来看一个例子。 再例如: (𝒔𝒊𝒏𝒙)′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙所以𝒔𝒊𝒏𝒙是𝒄𝒐𝒔𝒙在区间 (−∞, +∞)上的一个原函数
不定积分 例如：因为(x2)=2x, 所以x2是2x的一个原函数。 因为(x2+1)}=2x,所以x2+1也是2x的一个原函数。 因为(x2-2)}'=2x,所以x2-2也是2x的一个原函数。 因为(x2+V7=2x,所以x2+V7也是2x的一个原函数。 一般地，(x2+C)'=2x, 所以x2+C 也是2x的原函数。 可见，函数2x的原函数不止一个，而且有无穷多个。 对于一般的函数，有如下定理：
例如： 因为 𝒙 𝟐 ′ = 𝟐𝒙, 所以𝒙 𝟐是𝟐𝒙的一个原函数。 因为 𝒙 𝟐 + 𝟏 ′ = 𝟐𝒙, 所以𝒙 𝟐 + 𝟏也是𝟐𝒙的一个原函数。 . 一般地， 所以𝒙 𝟐 + 𝑪 也是𝟐𝒙的原函数。 可见，函数𝟐𝒙的原函数不止一个，而且有无穷多个。 对于一般的函数，有如下定理： 因为 𝒙 𝟐 − 𝟐 ′ = 𝟐𝒙, 所以𝒙 𝟐 − 𝟐也是𝟐𝒙的一个原函数。 因为 𝒙 𝟐 + 𝟕 ′ = 𝟐𝒙, 所以𝒙 𝟐 + 𝟕也是𝟐𝒙的一个原函数。 𝒙 𝟐 + 𝑪 ′ = 𝟐𝒙
不定积分 定理：若函数f(x)在区间I上有一个原函数F(x),则f(x) 在区间I上就有无穷多个原函数，并且F(x)+C表示f(x) 的全体原函数。 证明：·F'(x)=f(x),·[F(x)+C]'=f(x), 所以F(x)+C也是f(x)的原函数.(C为任意常数) 由于这样的任意常数有无穷多个，所以原函数也就有无穷多个。 另一方面，若G(x)是f(x)在区间1上的任意一个原函数. 则：[G(x)-F(x)]'=G(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 .G(x)-F(x)=C,EG(x)=F(x)+C
定理：若函数𝒇(𝒙)在区间 𝑰 上有一个原函数𝑭(𝒙)，则𝒇(𝒙) 在区间 𝑰 上就有无穷多个原函数，并且𝑭(𝒙) + 𝑪表示𝒇(𝒙) 的全体原函数。 由于这样的任意常数有无穷多个，所以原函数也就有无穷多个。 证明： ∵ 𝑭 ′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 , ∴ [𝑭 𝒙 + 𝑪]′ = 𝒇 𝒙 , 另一方面，若𝑮 𝒙 是𝒇(𝒙)在区间𝑰上的任意一个原函数. 所以𝑭 𝒙 + 𝑪也是𝒇(𝒙)的原函数.(C为任意常数) 则∵ 𝑮 𝒙 − 𝑭 𝒙 ′ = 𝑮 ′ 𝒙 − 𝑭 ′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 − 𝒇 𝒙 = 𝟎 ∴ 𝑮 𝒙 − 𝑭 𝒙 = 𝑪，即𝑮 𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪
不定积分 说明：任意两个原函数之间只相差一个常数. 对于问题2，我们直接给出下面结论： 定理：若函数f(x)在某区间上连续， 则f(x)在该区间上的原函数必定存在
说明：任意两个原函数之间只相差一个常数. 对于问题2，我们直接给出下面结论： 定理：若函数𝒇(𝒙) 在某区间上连续， 则 𝒇(𝒙) 在该区间上的原函数必定存在
不定积分 例1：已知f(x)的一个原函数为lnx,则 T)-(nxy f=rs是 f(x)dx Inx+c
例1：已知𝒇(𝒙)的一个原函数为𝒍𝒏𝒙,则 𝒇 𝒙 = 𝒇′ 𝒙 = (𝒍𝒏𝒙)′ = 𝟏 𝒙 (𝒍𝒏𝒙)′′ = − 𝟏 𝒙 𝟐 න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏𝒙 + 𝑪
不定积分 例2：已知f(x)的一个原函数为sinx,则 f(x)=(sinx)'=cosx f'(x)=(sinx)"=-sinx f(x)dx sinx+c
例2：已知𝒇(𝒙)的一个原函数为𝒔𝒊𝒏𝒙,则 𝒇 𝒙 = 𝒇′ 𝒙 = (𝒔𝒊𝒏𝒙)′ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝒔𝒊𝒏𝒙)′′=−𝒔𝒊𝒏𝒙 න 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝑪