第四讲 定积分的换元积分法 与分部积分法
定积分 第四讲 定积分的换元积分法 与分部积分法
定积分 二.复习引入 求 dx 引例1 =(2反-2m1+V0I 解： 令Vx=t,x=t2,dx=2tdt =2-2hn4 3 原式=∫2tdt 原式=12tdt -21d 换元需换限； =2t-2In1+1+C X=4,t=2;x=9,t=3 =2vx-2ln 1+x+C =(2t-2ln1+t0I2 =(2-2ln) 无需回代
定积分 引例1 ： 解： = 2ᵆ − 2ᵅᵅ |1 + ᵆ| + ᵃ 无需回代 = 2 − 2ᵅᵅ 4 3 一. 复习引入
定积分 二.定积分的换元积分法 定理1设函数f(x)在区间[a,b]上连续，令x=p(t),且p(t)满足 (1)p(a)=a,p(β)=b (2)p(t)在[a,B]上具有连续导数，且当te[a,B]或t∈[B,a] 时p(t)∈[a,b],则有 [f(x)dx=Sfl(t)]p'(t)dt 特点：1、换元需换限2、无需回代
定积分 特点：1、换元需换限 2、无需回代 二. 定积分的换元积分法
定积分 例2 求6dx 解令V1+x=t,则x=t-1,dx=2tdt, 且当x=0时t=1 x=3时，t=2 把它们都代入原式得： 0品dx=e2tdu =2(2-1)dt=(G-2)12 =(传-2)
定积分 把它们都代入原式得：
定积分 例3 求e苦dx 解因为etr=e古a时 所以，令-芳= 则当x=0时u=0 当x=1时，u= 于是 gea-Sod=-e。1-e月 0
定积分 于是
定积分 注：若不做代换，就不换限 ge=eia号=-e 0=1- 例5求？sin4 xcosxdx 解：sin4 xcosxdx=sin4 xdsinx sin5x 1 5 2= 0
定积分 注：若不做代换，就不换限
定积分 例4* 求 「2 x2 dx 0V1-x2 解： 设x=sint,则dx=costdt 当x=0时t =0 x=2 时t=名 代入原式得： 1 "2 x2 6 dx= sin2tdt 61-c0S2t dt V1-x2 Jo 2 1π1 π1 3 -2sin2t 6) 0 12 8
定积分 例4* 求 代入原式得：
定积分 例5设f(x)在[-a,a上连续，试证明 .e x为偶数， x为奇数. 证：因为 ∫"F)dix=∫fea+0fea (1) 对积分∫°nf(x)dx做变量代换x=-t, 得心rwax=-f-e业=r-a
定积分 上连续，试证明 证： 因为 得 (1)
定积分 当f(x)为偶函数时，f(-x)=f(x), y=f(x) ∫afx)dx=f(x)dx (1)式变为af(x)dx=2f(x)dx 当f(x)为奇函数时，f(-x)=-f(x), y=f(x) ∫afx)dx=-fx)dx (1)式变为∫.f(x)dx=0 a 2
定积分
定积分 例7计算下列定积分 (1) XCOS2X 2x2+1 dx 解： (1)被积函数 xcOS2x 2x2+1 为奇函数，且积分区间 [-4,4]关于原点对称，所以 xcos2x dx=0 f(x)x cos(2x) 2x2+1 2x2+1
定积分 例７ 计算下列定积分 为奇函数，且积分区间 (１)