第十章 重积分
重积分 第十章 重 积 分
第六讲 三重积分的计算
重积分 第六讲 三重积分的计算
重积分 1.柱坐标计算三重积分 设M(x,y,z)∈R3,将xy用极坐标o9代替 则(o0z) 就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系： x=pcose 0≤p<+∞ y=psin0 0≤0≤2π -00<Z<十00 Z=2 M(xyz) 坐标面分别为 0=常数 圆柱面 0=常数 半平面 (Xy,0) 之=常数 平面
重积分 1.柱坐标计算三重积分 ᵆ ᵆ ᵆ 将ᵆ ,ᵆ 用极坐标ᵰ ,ᵰ 代替, 则（ᵰ ,ᵰ ,ᵆ ) 就称为点M 的柱坐标. ᵆ = ᵆ 直角坐标与柱面坐标的关系: ᵰ = 常数 坐标面分别为 圆柱面 ᵰ = 常数 半平面 ᵆ = 常数 平面 ᵅ ᵰ ᵄ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ ) ᵰ (ᵆ ,ᵆ ,0)
重积分 如图所示， 在柱面坐标系中体积元素 为 dv=pdpdθdz pd0 因此 ∬nfx,y2du -JaF(p.0.2)pdpd0dz 其中F(p,0,z)=f(pcos0,psin0,Z) 适用范围： 1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单； 2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离！
重积分 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素 为 ᵰ ᵰ 因此 其中 适用范围: 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. ᵆ ᵆ ᵆ ᵅ ᵰ
重积分 例1.计算三重积分z√x2+y2 dxdydz其中为由 2 柱面x+y=2x及平面z=0,z=a(a>0),y=0 所围 成半圆柱体， 0≤p≤2cos8 解：在柱面坐标系下2： 0≤0≤ 原式=∬azp2dpd0dz 0≤z≤a 2 2 cos0 2 =人d d。 p=2cos0 p2dp 4a2 ,π /2 cos3 0de 9=8a3 dv=pdpdedz 3
重积分 例1. 计算三重积分 其中为由 ᵆ 2 + ᵆ 2 = 2ᵆ ᵆ = 0, ᵆ = ᵄ (ᵄ > 0), ᵆ = 0 所围 解: 在柱面坐标系下 ᵯ : 0 ≤ ᵰ ≤ ᵰ 2 0 ≤ ᵆ ≤ ᵄ 及平面 2 ᵄ ᵆ ᵆ ᵆ ᵅ = 8 9 ᵄ 3 柱面 成半圆柱体
重积分 2.球坐标计算三重积分 设M(x,y,z)∈R3,其柱坐标为(o0r),令1OM=r, ∠0M=中，则(T9中) 就称为点M的球坐标 直角坐标与球面坐标的关系 x=rsinΦcos0 0≤r<+∞ M y=rsinφsin0 0≤0≤2π 0≤φ≤π z=rCoS中 坐标面分别为 r=常数 球面 p=rSinφ中 0=常数 半平面 Z=rC0SΦ 中=常数 锥面
重积分 2.球坐标计算三重积分 其柱坐标为(ᵰ ,ᵰ ,ᵆ ), 就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系 ∠ᵄᵄᵄ = ᵱ , ᵰ ᵰ ᵄ ᵅ ᵆ ᵆ ᵆ ᵱ ᵅ 则(ᵅ,ᵰ ,ᵱ ) 坐标面分别为 ᵅ = 常数 球面 ᵰ = 常数 半平面 ᵱ = 常数 锥面 ᵄ (ᵅ,ᵰ ,ᵱ )
重积分 如图所示，在球面坐标系中体积元素为 dv=r2sinφdrdΦd0 因此有 fx.y.)dxdy dz ∫∫aF(,6,φ)r2sinφdrdΦd0 dθ 其中F(r,日，φ)=f(r sin cos0,rsinφsin8,rcosφ) 适用范围： 1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单； 2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离
重积分 ᵆ ᵆ ᵆ 如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 ᵅ ᵰ 因此有 ᵱ ᵅ 其中 适用范围: 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离. ʃʃʃΩ
重积分 例2.计算三重积分(x2+y2+z)dxdy dz.其中口 为锥体z=√x2+y 2 与球面X2+y+z2=R2 所围立体 解：在球面坐标系下 0≤r≤R 2:了 0≤φ≤匹 0≤6≤2元 ∬(x2+y2+z2)dxdy dz sindr产dr dv=r2sinφdrdφd0 =5πR5(2-V2)
重积分 例2. 计算三重积分 ᵆ 2 + ᵆ 2 + ᵆ 2 = ᵄ 2 解: 在球面坐标系下 ᵯ : 所围立体. 0 ≤ ᵱ ≤ ᵰ 4 0 ≤ ᵅ ≤ ᵄ 0 ≤ ᵰ ≤ 2ᵰ 其中 与球面 ᵆ ᵆ ᵆ
重积分 课堂小 1,结积分在柱面坐标系的计算 x=pcoSθ 0≤p<+∞ y=psine 0≤0≤2π z=Z -0<z<十0 2.三重积分在球面坐标系的计算 x=rSinΦcosθ 0≤r<+∞ y=rsinφsinθ 0≤0≤2π 、Z=rC0S中 0≤中≤π
重积分 课 堂 小 1. 结三重积分在柱面坐标系的计算 2. 三重积分在球面坐标系的计算 ᵆ = ᵆ
工作人员 总策划：卢自娟 主讲人：卢自娟 脚本策划：卢自娟 李达玲 里提甫·玉素甫 黄光迪 张晗 彦
重积分 工 作 人 员 总策划：卢自娟 主讲人：卢自娟 脚本策划：卢自娟 李达玲 里提甫·玉素甫 黄光迪 张 晗 冀 彦