第十一章 曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分 第十一章 曲线积分与曲面积分
第乳讲 高斯公式与斯托克斯公式
曲线积分与曲面积分 第八讲 高斯公式与斯托克斯公式
曲线积分与曲面积分 1.高斯公式 定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲 面所围成，的方向取外侧，1 函数P,Q,R在 口上有连续的一阶偏导数，则有 ∂P aQ aR +0z dxdydz (Gauss公式) -fpdydz+Qdzdx+Rdxdy
曲线积分与曲面积分 1.高斯公式 定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 , 面所围成, 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式)
曲线积分与曲面积分 例1.用Gauss 公式计鳅 (x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中为柱面x2+y=1 2 及平面z=0,z=3所围空间 闭域的整个边界曲面的外侧， 解：这里P=y-z)x, Q=0, R=X-y利用Gauss公式，得 原式=[y-z)dxdydz(用柱坐标 X oraraino-dz 9π = 2
曲线积分与曲面积分 例1. 用Gauss 公式计算 其中为柱面 ᵆ 2 + ᵆ 2 = 1 闭域 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = (用柱坐标) ᵆ 3 ᵆ 1 ᵆ ᵄ = (ᵆ − ᵆ )ᵆ , ᵄ = 0, ᵄ = ᵆ − ᵆ
曲线积分与曲面积分 例2.设2为曲面z=2-x2-y2,1≤z≤2取上侧，求 I-z+x)dydz-xyzdzdx-x2dxdy. 解：作取下侧的辅助面 ∑z=1 (x)eD:x +y s ≤1 - 用柱坐标 用极坐标 Σ+1 =川addz-(-)nn-dxdy =aanaraz-os2a0rar
曲线积分与曲面积分 例2. 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 ᵯ 1 :ᵆ = 1 (ᵆ ,ᵆ ) ∈ ᵃ ᵆᵆ : ᵆ 2 + ᵆ 2 ≤ 1 = ᵰ 4 ᵆ ᵅ ᵆ ᵆ 2 1 ᵯ ᵯ 用柱坐标 用极坐标 1
曲线积分与曲面积分 2.斯托克斯公式 定理2.设光滑曲面的边界是的分段光滑曲线，口的 侧与的正向符合右手法则，PQR 在包含在内的一 个空间域内具有连续一阶偏导数，则有 ) ∂P OR dzdx+ dxdy Pdx+Qdy+Rdz (斯托克斯公式)
曲线积分与曲面积分 2.斯托克斯公式 定理2. 设光滑曲面 的边界 是的分段光滑曲线，的 (斯托克斯公式) 个空间域内具有连续一阶偏导数, 侧与 的正向符合右手法则, ᵄ ,ᵄ ,ᵄ 在包含在内的一 则有
曲线积分与曲面积分 为便于记忆，斯托克斯公式还可写作： dydz dzdx dxdy Bx ay -gpdx+Qdy+Rdz Q R 或用第一类曲面积分表示： cos a cos B cosy a 0x y ds dx+Qdy+Rdz Jr P Q 及
曲线积分与曲面积分 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: 或用第一类曲面积分表示:
曲线积分与曲面积分 例3.利用斯托克斯公式计算积分沙zdx+xdy+ydz 其中Γ为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个 边界，方向如图所示 解：记三角形域为取上侧，则 Φzdx+xdy+ydz dydz dzdx dxdy -M a 0 dy dz 2 X y 利用对称性 =aydz+dzax+dxdy=3zay-月
曲线积分与曲面积分 ᵆ ᵆ ᵆ 1 1 例3. 利用斯托克斯公式计算积分 解: 记三角形域为, 取上侧, 则 边界, 方向如图所示. 利用对称性 = 3 2 ᵃ ᵆᵆ
曲线积分与曲面积分 例4.T为柱面x2+y2=2y与平面y=z的交线，从z 轴正向看为顺时针，计算I=∮y2dx+xydy+xzdz. 解：设∑为平面z=y上被下所围椭圆域，且取下侧， 则其法线方向余弦 cosa=0,cosB=- 1 2 cosy = 利用斯托克斯公式得 cosa cos B cosy 0 0 y z
曲线积分与曲面积分 ᵅ ᵆ 2 ᵮ ᵆ ᵆ 且取下侧, 利用斯托克斯公式得 = 0 则其法线方向余弦 ᵆ 2 ᵆᵆ ᵆᵆ ᵯ
曲线积分与曲面积分 3.空间曲线积分与路径无关的条件 定理3.设G是空间一维单连通域，函数P,Q,R在G内 具有连续一阶偏导数，则下列四个条件相互等价： (1)对G内任一分段光滑闭曲线Γ，有 φPdx+Qdy+Rdz=0 (2) 对G内任一分段光滑曲线，Pdx+Qdy+Rdz 与路径无关 (3)在G内存在某一函数u,使du=Pdx+Qdy+Rdz (4)在G内处处有 ap aQ ∂Q aR OR Op dy 0x' 0z dy' 8x az
曲线积分与曲面积分 3.空间曲线积分与路径无关的条件 定理3. 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: 与路径无关