第五讲 平面夹角与距离公式
向量代数与空间解析几何 第五讲 平面夹角与距离公式
向量代数与空间解析几何 1.两平面的夹角 两平面法向量的夹角（常为锐角）称为两平面的夹角， 设平面1的法向量为n=(A1,B1,C1) n 平面·，的法向量为 n2 2=(A2,B2,C2) 则两平面夹角口的余弦为 |n·n2引 c0s0= nln2引
向量代数与空间解析几何 1.两平面的夹角 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 ᵰ 则两平面夹角的余弦为
向量代数与空间解析几何 Ⅱ：n1=(A,B,C) Ⅱ2：n2=(A2,B2,C) Ini.nil=_ IA1A2+B1B2 CiC2l l2+B2+C2+2+Ca2 (1)Ⅱ，⊥Ⅱ，台n1n2 →A1A2+B1B2+C1C2=0 (2)l1/m2台m/n2 A2 B2
向量代数与空间解析几何 ᵯ 1 : ᵅ 1 = (ᵃ 1 , ᵃ 1 , ᵃ 1 ) ᵯ 2 : ᵅ 2 = (ᵃ 2 , ᵃ 2 , ᵃ 2 ) (1) ᵯ 1 ⊥ ᵯ 2⟺ ᵅ 2 ᵅ 2 ᵅ 1
向量代数与空间解析几何 例1.一平面通过两点M(1,1,1)和M(0,1,-1),且 垂直于平面：x+y+z=0,求其方程 解：设所求平面的法向量为航=(A,B,C),则所求平面 方程为A(x-1)+By-1)+C(z-1)=0 i1M1M→-A+0·B-2C=0, 即A=-2C 元1Ⅱ的法向量→A+B+C=0，故 B=-(A+C)=C
向量代数与空间解析几何 例1. 一平面通过两点 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为 − ᵃ + 0 ⋅ ᵃ − 2ᵃ = 0, 即 ᵃ = − 2ᵃ ᵃ + ᵃ + ᵃ = 0 , ᵃ = − (ᵃ + ᵃ ) = ᵃ ᵃ (ᵆ − 1) + ᵃ (ᵆ − 1) + ᵃ (ᵆ − 1) = 0 ᵄ 1 ( 1, 1, 1 ) ᵄ 2 和 ( 0, 1, − 1 ), 则所求平面 故 方程为 且
向量代数与空间解析几何 因此有 -20x-+cw-+c-》-=0c*0 约去C,得 -2(x-1)+(y-1)+(z-1)=0 即 2X-y-z=0
向量代数与空间解析几何 因此有 − 2ᵃ (ᵆ − 1) + ᵃ (ᵆ − 1) + ᵃ (ᵆ − 1) = 0 (ᵃ ≠ 0) 约去C , 得 − 2(ᵆ − 1) + (ᵆ − 1) + (ᵆ − 1) = 0 即 2ᵆ − ᵆ − ᵆ = 0
向量代数与空间解析几何 基础练习 1.已知平面π1的法向量为n1={1,2,3},平面π2的法 向量n2={-2,-4,-6,则两平面的夹角为（A) A.0 B. C. D. π-2
向量代数与空间解析几何 基础练习 A
向量代数与空间解析几何 点到平面的距 离 设PXy3 )是平面AX+B+G+D=0 外一点求Po到平面的距离d. 解：设平面法向量为杭=(A,B,C),在平面上取一点 P(X yZ) ,则P。到平面的距离为 d PrinP,Po PD· D 1 1A(x0-x1)+B(y0-y1)+C(20-z1)I VA2+B2+C2 AX1+By1+C之，+D=0
向量代数与空间解析几何 2. 点到平面的距 离 设ᵄ 0 ( ᵆ 0 , ᵆ 0 , ᵆ 0 ) ᵃ ᵆ + ᵃᵆ + ᵃᵆ + ᵃ = 0 解:设平面法向量为 ᵄ 1 ( ᵆ 1 , ᵆ 1 , ᵆ 1 ) 在平面上取一点 是平面 到平面的距离d . ,则P0 到平面的距离为 ᵄ 0 ᵅ ᵃ ᵆ 1 + ᵃ ᵆ 1 + ᵃ ᵆ 1 + ᵃ = 0
向量代数与空间解析几何 2.点到平面的距 离 设PXy子 )是平面AX+B+G+D=0 外一点，求Po到平面的距离d. P。到平面的距离为 |A(x0-x1)+By0-y1)+C(20-Z1)I VA2+B2+C2 D AX,+By,+C2,+D=0 d=. Axo Byo Czo +DI VA2+B2+C2 (点到平面的距离公式)
向量代数与空间解析几何 2. 点到平面的距 离 设ᵄ 0 ( ᵆ 0 , ᵆ 0 , ᵆ 0 ) 是平面 ᵃ ᵆ + ᵃᵆ + ᵃᵆ + ᵃ = 0 到平面的距离d . P0 到平面的距离为 ᵃ ᵆ 1 + ᵃ ᵆ 1 + ᵃ ᵆ 1 + ᵃ = 0 ᵄ 0 ᵅ (点到平面的距离公式)
向量代数与空间解析几何 例2.求内切于平面x+y+z=1与三个坐标面所构成 四面体的球面方程 解：设球心为MXy2), 则它位于第一卦限，且 ”=义=y,=之=R半径到 V12+12+12 :。+y0+2。≤1,1-3x0=V3x0 1 _3-3 从而X。=V。=2。=R 。M 因此所求球面方程为
向量代数与空间解析几何 ᵆ ᵆ ᵆ 例2. 解: 设球心为 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 则它位于第一卦限,且 ∵ ᵆ 0 + ᵆ 0 + ᵆ 0 ≤ 1, ᵆ 0 = ᵆ 0 = ᵆ 0 = ᵄ 因此所求球面方程为 ᵆ 0 = ᵆ 0 = ᵆ 0 ᵄ 0 ( ᵆ 0 , ᵆ 0 , ᵆ 0 ), 四面体的球面方程. 从而 = ᵄ (半径)
向量代数与空间解析几何 基础练习 2.已知平面π的方程为x+y+z=1,平面外一点 P0=(0,1,3),则P到平面π的距离为（B） A.1 B.V3 C. D
向量代数与空间解析几何 基础练习 B