第十一章 曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分 第十一章 曲线积分与曲面积分
第四讲 平缅上曲线积分与路径 无关的等价条件
曲线积分与曲面积分 第四讲 平面上曲线积分与路径 无关的等价条件
曲线积分与曲面积分 1.平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理1.设D是单连通域，函数P(xy),Q(Xy)在D内 具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价： (1)沿D中任意光滑闭曲线L,有中Pdx+Qdy=0. 2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分Pdx+Qdy 与路径无关，只与起止点有关 (3)Pdx+Qdy在D内是某一函数的全微分， 即du(x,y)=Pdx+Qdy (4)在D内每一点都有 ap aQ
曲线积分与曲面积分 1.平面上曲线积分与路径无关的等价条件 ᵄ (ᵆ ,ᵆ ), ᵄ (ᵆ ,ᵆ ) 具有一阶连续偏导数, (3) 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: 的全微分, 即
曲线积分与曲面积分 证明(1为 设，L,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线， 则 J Pdx+Qdy-pdx+Qdy =厂pdx+Qdy+pdx+Qdy A pdx+edy=0 (根据条件(1) Pux+Qdy=Pdx+Qdy 说明：积分与路径无关时，曲线积分可记为 [Pdx A +Qdy -Pdx+Qdy
曲线积分与曲面积分 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 设 ᵃ 1 , ᵃ 2 = 0 ᵃ ᵃ ᵃ 1 ᵃ 2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线， 则 (根据条件(1)) 证明 (1) (2)
曲线积分与曲面积分 证明(2)）> 程b内取定点A(Xy。)和任一点B(x,y),因曲线积分 与路径无关，有函数 c(x,y) B(xy) u(x,y)= Pdx+Qdy C(x+△Xy) J(xo,yo) 则△u=ux+△Xy)-u(Xy) A(XV (x+△x,y) (x+△x,y) Pdx+Qdy= Pdx (x,y) (xy) Ju =P(x+0△x,y)△X △xU = 0x lim △x→0△X imP(x+θ△x,y)=P(x,y) △X→0 同理可证 ou ay =Qx,y吵，因此有du=Pdx+Qdy
曲线积分与曲面积分 证明 (2) (3) 在D内取定点ᵃ ( ᵆ 0 , ᵆ 0 ) 因曲线积分 ᵮ ᵆ 则 ᵆ = ᵆ (ᵆ + ᵮ ᵆ ,ᵆ ) − ᵆ (ᵆ ,ᵆ ) = ᵄ (ᵆ , ᵆ ) = ᵄ (ᵆ + ᵰ ᵮ ᵆ , ᵆ )ᵮ ᵆ 同理可证 = ᵄ (ᵆ , ᵆ ), 因此有 和任一点B( x, y ), 与路径无关, ᵃ (ᵆ + ᵮ ᵆ ,ᵆ ) ᵃ (ᵆ ,ᵆ ) ᵃ ( ᵆ 0 , ᵆ 0 ) 有函数
曲线积分与曲面积分 证明(3> 设存在函数u(x,y)使得 du=p dx+Qdy B 则 成=Px,y), = ay Q(x,y) ap 82u aQ 82u ay axay 0x ay∂x P,Q在D内具有连续的偏导数，所以 82u 82u axay ayax 从而在D内每一点都有 aP aQ ay 0x
曲线积分与曲面积分 证明 (3) (4) 设存在函数 u ( x , y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有
曲线积分与曲面积分 证明（4)2 设为D中任一分段光滑闭曲线，所围区域为DcD (如图)，因此在D'上 ap aQ dy F∂x 利用格林公式，得 fPa+Qay-儿（器股udy =0 证毕
曲线积分与曲面积分 证明 (4) (1) 设L为D中任一分段光滑闭曲线, ᵃ ′ ⊂ᵃ (如图) , 利用格林公式 , 得 = 0 所围区域为 证毕
曲线积分与曲面积分 ap a0 说明：根据定理1，若在某区域内 dy Ox 则 1)计算曲线积分时，可选择方便的积分路径， 2)求曲线积分时，可利用格林公式简化计算， 若积分路径不是闭曲线，可添加辅助线； 3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内的原函数： 取定点(Xy。)∈D及动点(Xy)∈D, 则原函数为 u(x,y)）= P(x,y)dx+Q(x,y)dy yo (xo.yo)
曲线积分与曲面积分 ᵆ ᵆ 说明: 根据定理1 , 若在某区域内 则 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, ( ᵆ 0 , ᵆ 0 ) ∈ ᵃ 及动点 (ᵆ ,ᵆ ) ∈ ᵃ , ᵆ 0 ᵆ 0 则原函数为 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 取定点 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
曲线积分与曲面积分 =ndx+心ema 或x0=o,ay+P(y)dx
曲线积分与曲面积分 或
曲线积分与曲面积分 例1.验证xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分，并求 出这个函数， 正设P=w,Q=Xy则那=2w 2 2 ∂q 由定理1可知，存在函数u(x,y)使 du=xy2dx+x2ydy c(x,y) u(xy)=xy2dx+xydy (0,0) =x0dx+∫xydy (0,0) X0) 22
曲线积分与曲面积分 例1. 验证 是某个函数的全微分, 并求 出这个函数. 证: 设ᵄ = ᵆ ᵆ 2 , ᵄ = ᵆ 2 ᵆ , 则 由定理1 可知, 存在函数 u (x , y) 使 。 (0,0) 。 (ᵆ,ᵆ) (ᵆ,0) = 1 2 ᵆ 2 ᵆ 2