第一讲 主讲人：卢自娟 微分方程的概念
第一讲 微分方程的概念 主讲人：卢自娟
微分方程 引例 例1：一条曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任意一 点M(x,y)处的切线斜率为2x,求这条曲线的方程。 解：设曲线方程为y=f(x), 由题意可知： =2x或dy=2xdx四 对(0式积分得：y=2xdx=x2+C(0 .曲线过(1,2)点，代入()式得C=1,则得所求曲 线方程为：y=x2+1
例1：一条曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任意一 点𝑴(𝒙, 𝒚)处的切线斜率为𝟐𝒙,求这条曲线的方程。 解： 设曲线方程为𝒚 = 𝒇(𝒙), 由题意可知： 或𝒅𝒚 = 𝟐𝒙𝒅𝒙 (𝐈), 对(𝐈)式积分得： (𝐈𝐈) ∵曲线过(𝟏, 𝟐)点，代入(𝐈𝐈)式得𝑪 = 𝟏，则得所求曲 线方程为: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 𝒚 = න 𝟐𝒙𝒅𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝑪 𝒚 = 𝒙 𝟐 + 𝟏 引例
微分方程 例2：列车在平直线路上以20m/s的速度行驶，当制动时列车 获得加速度-0.4m/s2.求列车制动阶段的运动规律？ 解：设求的函数为s=s(t),由题意可知： d2s =-0.4 (D, dt2 对四）式积分得：=-0.4dt=一-0,4t+G四 对IV)式积分得：s=∫(-0.4t+C1)dt=-0.2t2+C1t+C2(V) 把v(0)=20m/S,s(0)=0,分别代入(IV)、(V)得C1=20,C2=0, 则列车制动阶段的运动规律为s=-0.2t2+20t
例2：列车在平直线路上以𝟐𝟎𝒎/𝒔的速度行驶，当制动时列车 获得加速度−0.4𝒎/𝒔 𝟐 . 求列车制动阶段的运动规律? 解：设求的函数为𝒔 = 𝒔(𝒕), 由题意可知： (𝐈𝐈𝐈)， 对 (𝐈𝐈𝐈) 式积分得： (𝐈𝐕) 把𝒗(𝟎) = 𝟐𝟎𝒎/𝒔, 𝒔(𝟎) = 𝟎,分别代入(𝐈𝐕)、(𝐕)得𝑪𝟏 = 𝟐𝟎，𝑪𝟐 = 𝟎, 则列车制动阶段的运动规律为𝒔 = −0.2𝒕 𝟐 + 𝟐𝟎𝒕. 对(𝐈𝐕)式积分得： (𝐕) 𝒅 𝟐𝒔 𝒅𝒕 𝟐 = −𝟎. 𝟒 𝒅𝒔 𝒅𝒕 = න −𝟎. 𝟒𝒅𝒕 = −𝟎. 𝟒𝒕 + 𝑪𝟏 𝒔 = −=�𝒅�(�𝑪� + �𝟒� .��−)0.2𝒕 𝟐 + 𝑪𝟏𝒕 + 𝑪𝟐
微分方程 1.微分方程的概念 定义1：含有未知函数的导数（或微分）的方程称 为微分方程。 d2s dy 2xdx (I), dt2 i =-0.4(, 定义2：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数 的阶数，叫作微分方程的阶
1. 微分方程的概念 定义1：含有未知函数的导数（或微分）的方程称 为微分方程。 𝑑𝑦 = 2𝑥𝑑𝑥 (𝐈), (III) ， 定义2：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数 的阶数，叫作微分方程的阶。 𝑑 2 𝑠 𝑑𝑡 2 = −0.4
微分方程 例3：判断下列各方程哪些是微分方程，如果是，求微 分方程的阶数。 方程 微分方程（是或 阶数（若是，回 不是) 答阶数) (1)y+2x=sinx 是 2阶 (2) (y")6 +y""=sinx 是 3阶 (3)dy+2xdx=exdx 是 1阶 (4)y+2x=cosx 不是 (5) y5)+(y）8=sinx 是 5阶 (6) sint 是 3阶
例3：判断下列各方程哪些是微分方程，如果是，求微 分方程的阶数。 方 程 微分方程（是或 不是） 阶数（若是，回 答阶数） 是 2阶 是 是 3阶 1阶 不是 是 5阶 是 3阶 𝟏 𝒚 ′′ + 𝟐𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟐 (𝒚 ′′) 𝟔 + 𝒚 ′′′ = 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟑 𝒅𝒚 + 𝟐𝒙𝒅𝒙 = 𝒆 𝒙𝒅𝒙 𝟒 𝒚 + 𝟐𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟓 𝒚 (𝟓) + (𝒚′) 𝟖= 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟔 𝒅 𝟑𝒚 𝒅𝒙 𝟑 = 𝒔𝒊𝒏t
微分方程 Ⅱ微分方程的解 定义3：如果把一个函数y=f(x)代入微分方程后能 使方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解。 定义4：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意 常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为 微分方程的通解
Ⅱ微分方程的解 定义3：如果把一个函数𝒚 = 𝒇(𝒙)代入微分方程后能 使方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解。 定义4：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意 常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为 微分方程的通解
微分方程 定义5：确定通解中的任意常数后，所得到的微分 方程的解称为微分方程的特解。 y=x2+1 s=-0.2t2+20t y=x2+C s=-0.2t2+C1t+C2 初始 曲线过(1,2)点；v(0)=20m/s,s(0)=0. 条件 一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初 值问题，求微分方程解的过程称为解微分方程
定义5 ：确定通解中的任意常数后，所得到的微分 方程的解称为微分方程的特解。 一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初 值问题，求微分方程解的过程称为解微分方程。 曲线过(1,2)点； 𝒗(𝟎) = 𝟐𝟎𝒎/𝒔, 𝒔(𝟎) = 𝟎. 初始 条件 𝒚 = 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒔 = −0.2𝒕 𝟐 + 𝟐𝟎𝒕 𝒚 = 𝒙 𝟐 + 𝑪 𝒔=−0.2𝒕 𝟐 + 𝑪𝟏𝒕 + 𝑪𝟐
微分方程 例4：验证函数x=C1 coskt+C2 sinkt是微分 方程器+k2x=0的解 证明： 求一阶导数： x'=-kCsinkt kCzcoskt (1) 求二阶导数： x"=-k2C coskt-k2Czsinkt (2) 把(2)及x代入原微分方程左边等于右边， 即x为原微分方程的解
例4： 验证函数𝒙 = 𝑪𝟏𝒄𝒐𝒔𝒌𝒕 + 𝑪𝟐𝒔𝒊𝒏𝒌𝒕是微分 方程𝒅 𝟐𝒙 𝒅𝒕 𝟐 + 𝒌 𝟐𝒙 = 𝟎的解。 求二阶导数: 把(2)及𝒙代入原微分方程左边等于右边， 即𝒙为原微分方程的解。 (1) (2) 证明: 求一阶导数: 𝒙 ′ = −𝒌𝑪𝟏𝒔𝒊𝒏𝒌𝒕 + 𝒌𝑪𝟐𝒄𝒐𝒔𝒌𝒕 𝒙 ′′ = −𝒌 𝟐𝑪𝟏𝒄𝒐𝒔𝒌𝒕 − 𝒌 𝟐𝑪𝟐𝒔𝒊𝒏𝒌𝒕
微分方程 例5：下列函数是给定微分方程的解，判断是特 解还是通解。 3 1)y”-2x=0,y=3+C1x+2 (2)y-2y'+y=0,y=C1xe-x+Cze-x (3)y+y=0,y=e-x (4)y+2x=0,y=-x2+2 答：(2)所给的解是通解，(3)，(4)所给的解是特解
例5： 下列函数是给定微分方程的解，判断是特 解还是通解。 答:(2)所给的解是通解， (3),(4)所给的解是特解。 𝟏 𝒚 ′′ − 𝟐𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝒙 𝟑 𝟑 + 𝑪𝟏𝒙 + 𝟐 𝟐 𝒚 ′′ − 𝟐𝒚 ′ + 𝒚 = 𝟎, 𝒚 = 𝑪𝟏𝒙𝒆 −𝒙 + 𝑪𝟐𝒆 −𝒙 𝟑 𝒚 ′ + 𝒚 = 𝟎, 𝒚 = 𝒆 −𝒙 𝟒 𝒚 ′ + 𝟐𝒙 = 𝟎, 𝒚 = −𝒙 𝟐+2
微分方程 课堂小结 1.微分方程的概念： 2.微分方程的阶； 3.微分方程的解
课堂小结 1. 微分方程的概念； 2. 微分方程的阶； 3. 微分方程的解