第十二讲 最小二乘法
多元函数微分法及其应用 第十二讲 最小二乘法
多元函数微分法及其应用 1.问题提出 已知一组实验数据(xk,yk)(k=0,1,.,n), 求它们的近似函数关系y=f(x). 需要解决两个问题： y 1.确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景 X 2.确定近似函数的标准 实验数据有误差，不能要求y,=X,)
多元函数微分法及其应用 1.问题提出 ᵅ ᵆ ᵆ 需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景 2. 确定近似函数的标准 ᵆ ᵅ = ᵅ( ᵆ ᵅ 实验数据有误差 ) , 不能要求
多元函教微分法及其应用 偏差r:=y:-f(x)有正有负，为使所有偏差的绝对 值都较小且便于计算，可由偏差平方和最小 ∑D%-fx)2=min i= 来确定近似函数f(x). X
多元函数微分法及其应用 有正有负, 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对 ᵅ ᵆ ᵆ
多元函数微分法及其应用 最小二乘法原理： 设有一列实验数据(xk,yk)(k=0,1,.,n),它们大体 分布在某条曲线上，通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法，找出的函数关系称为经验公式. X
多元函数微分法及其应用 最小二乘法原理: 分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式 . , 它们大体 ᵅ ᵆ ᵆ
多元函教微分法及其应用 特别，当数据点分布近似一条直线时，问题为确定α，b 使y=ax+b满足： M(ab)= (-axx-b)2 min k三0 da =-2〉(yk-axk-b)xk=0 令 k=0 OM ab =-2(yk-axk-b) =0 称为法方程组 k=0 得 k= 解此线性方程组 xa+m+1)b=∑y 即得a,b k=0
多元函数微分法及其应用 特别, 当数据点分布近似一条直线时, 令 ᵄ (ᵄ ,ᵄ ) = 满足: ᵅ ᵆ ᵆ 得 称为法方程组
多元涵数微分法及其应用 例1.为了测定刀具的磨损速度，每隔1小时测一次刀 具的厚度，得实验数据如下： i 0 1 2 3 4 5 67 ti(h) 0 1 2 3 4 5 6 7 yi(mm) 27.0 26.826.526.326.125.725.3 24.8 找出一个能使上述数据大体适合的经验公式 解：通过在坐标纸上描点可看出它们y 大致在一条直线上，故可设经验公式为 y=a+b 列表计算： t
多元函数微分法及其应用 例1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀 具的厚度, 得实验数据如下: 找出一个能使上述数据大体适合的经验公式. 解: 通过在坐标纸上描点可看出它们 大致在一条直线上, 列表计算: 故可设经验公式为 ᵆ = ᵄᵆ + ᵄ ᵅ ᵆ ᵆ 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 ᵅ 0 1 2 3 4 5 6 7
多元函教微分法及其应用 0 1 2 3 4 567 ti(h) 0 1 2 3 4 5 67 yi(mm) 27.0 26.826.5 26.326.125.725.324.8 i 0 1 2 3 4 5 6 7 t好 0 1 4 9 16 25 3649 yt 0 26.8 53 78.9 104.4 128.515 173.6 7 t:=28 ∑ =140， =2085，∑4=717 i=0 i=0 i=0
多元函数微分法及其应用 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 ᵅ 0 1 2 3 4 5 6 7 0 26.8 53 78.9 104.4 128.5 151.8 173.6 0 1 4 9 16 25 36 49 0 1 2 3 4 5 6 7 ᵆ ᵅ ᵆ ᵅ ᵆ 2 ᵅ ᵅ
多元函数微分法及其应用 140a+28b=717 得法方程组 28a+ 8b=208.5 解得a=-0.3036,b=27.125,故所求经验公式为 y=ft)=-0.3036t+27.125 为衡量上述经验公式的优劣，计算各点偏差如下：
多元函数微分法及其应用 得法方程组 140ᵄ + 28ᵄ 28ᵄ + 8ᵄ = 208.5 = 717 故所求经验公式为 ᵆ = ᵅ(ᵆ)=− 0.3036ᵆ + 27.125 为衡量上述经验公式的优劣, 计算各点偏差如下:
多元函教微分法及其应用 0 1 2 3 4 5 6 7 实测的 27.0 26.8 26.526.326.125.725.324.8 y/mm 算得的 27.125 26.518 25.911 25.303 ft)/mm 26.821 26.214 25.607 25.000 0.125 -0.018 0.189 -0.003 y;-f(t) -0.021 0.086 0.093 -0.200 偏差平方和为M=∑y-ft0]2=0.108165 1M称为均方根误差，对本题均方根误差y ]月M=0.124 它在一定程度上反映了经验函数的好坏， t
多元函数微分法及其应用 ᵅ ᵆ ᵆ 称为均方根误差, 对本题均方根误差 它在一定程度上反映了经验函数的好坏. 偏差平方和为 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 算得的 ᵅ( ᵆ ᵅ )/mm 实测的 ᵆ ᵅ /mm 27.125 26.518 25.911 25.303 26.821 26.214 25.607 25.000 －0.125 －0.018 0.189 －0.003 －0.021 0.086 0.093 －0.200 ᵆ ᵅ − ᵅ( ᵆ ᵅ )
多元函数微分法及其应用 例2.在研究某单分子化学反应速度时，得到下列数据： 1 2 3 4 5 6 1 8 3 6 9 12 1518 2124 y57.641.931.022.716.612.2 8.9 6.5 其中表示从实验开始算起的时间，y表示时刻x反应 物的量.试根据上述数据定出经验公式y=∫() 解：由化学反应速度的理论知，经验公式应取y=kemx 其中k,m为待定常数.对其取对数得 Iny =mt +Ink 令Y=lny,X=ta=m,b=lnk Y=0x+b (线性函数)
多元函数微分法及其应用 例2. 在研究某单分子化学反应速度时, 得到下列数据: 57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5 3 6 9 12 15 18 21 24 1 2 3 4 5 6 7 8 ᵆ ᵅ ᵰ ᵅ ᵅ 其中表示从实验开始算起的时间, 物的量. 解: 对其取对数得 ᵄ = ᵄᵄ + ᵄ (线性函数)