第三讲 平面曲线的弧长
第三讲 平面曲线的弧长
定积分及其应用 二 平面曲线的弧长 设曲线弧为y=f(x)(a≤x≤b),其中 f(x)在[a,b]上有一阶连续导数 取x为积分变量，在[a,b]上任取小区间 [x,x+dx],以对应小切线段的长代替 小弧段的长。 小切线段的长： a xx+dx b V(dx)2+(dy)2=/1+y'2dx 弧长元素：ds=√1+y2dx 弧长：s=V1+ydx
二、平面曲线的弧长 设曲线弧为 𝐲 = 𝐟 ( 𝒙 ) ( 𝐚 ≤ 𝒙 ≤ 𝐛 ) ,其中 𝒇 ( 𝒙 ) 在 [ 𝒂 , 𝒃 ]上有一阶连续导数 取 𝒙为积分变量 , 在 [ 𝒂 , 𝒃 ]上任取小区间 [ 𝒙 , 𝒙 + 𝒅𝒙 ] ,以对应小切线段的长代替 小弧段的长。 小切线段的长： (𝑑𝑥)2 + (𝑑𝑦 ) 2 = 1 + 𝑦′ 2𝑑𝑥 弧长元素：𝑑𝑠 = 1 + 𝑦′ 2𝑑𝑥 弧长： 𝑠 = න𝑎𝑏 1 + 𝑦′ 2 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑥 𝑑𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 +𝑑𝑥 𝑂
定积分及其应用 举例 求曲线y=号x2上x∈a,b)的一段弧的长度。 解：y=x2,由弧长公式 s=∫i+xdx =V1+xd(x+1) =x+1)b =[(b+1)z-(a+1)
举 例 ＜一＞ 求曲线𝒚 = 𝟐 𝟑 𝒙 𝟑 𝟐 上 (𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃]) 的一段弧的长度。 解: y ′ = 𝑥 1 2 ,由弧长公式 s = න 𝑎 𝑏 1 + 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑎 𝑏 1 + 𝑥 𝑑(𝑥 + 1) = 2 3 (𝑥 + 1) 3 2| 𝑏 𝑎 = 2 3 [(𝑏 + 1) 3 2 − (a + 1) 3 2]
定积分及其应用 (2)设曲线弧由参数方程 ly=weyasxs x=p(t) 给出，其中p(t),ψ(t)在[，B]上具有连续导数，且p'(t),ψ'(t) 不同时为零。现在来计算这曲线弧的长度。 ds=V(dx)2+(dy)2=V(p'(t)2+('(t)2dt *-[WOwoya (3)设曲线弧由极坐标方程 化=28em4a≤0sl s-["X+Oao
(2)设曲线弧由参数方程 ቊ 𝑥 = 𝜑(𝑡) 𝑦 = 𝜓(𝑡) ,(𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝛽) 给出，其中𝝋 𝒕 , 𝝍(𝒕)在[𝛼, 𝛽]上具有连续导数，且𝝋′ 𝒕 , 𝝍′(𝒕) 不同时为零。现在来计算这曲线弧的长度。 ds = (𝑑𝑥) 2+(𝑑𝑦) 2 = (𝜑′(𝑡)) 2+(𝜓′(𝑡)) 2𝑑𝑡 𝑠 = න 𝛼 𝛽 (𝜑′(𝑡)) 2+(𝜓′(𝑡)) 2𝑑𝑡 (3)设曲线弧由极坐标方程 ቊ 𝑥 = 𝜌 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝜌 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 ,(𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽) 𝑠 = න 𝛼 𝛽 (𝜌(𝜃)) 2+(𝜌′(𝜃)) 2𝑑𝜃
定积分及其应用 举例 求摆线 x=a(9-sim8的一拱孤(0≤日≤2m)的长度。 y a(1-c0s0) 解： x'=a(1-c0s0) y'asine 2元 av2(1-cos0)do 2a TT s= 2元 1 2asin =8a
举 例 ＜二＞ 求摆线 ቊ 𝒙 = 𝒂(𝜽 − 𝒔𝒊𝒏𝜽) 𝒚 = 𝒂(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) 的一拱弧（𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅）的长度。 解: ቊ 𝒙′ = 𝒂(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) 𝒚′ = 𝒂𝒔𝒊𝒏𝜽 𝑠 = න 0 2𝜋 𝑎 2(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑑𝜃 = න 0 2𝜋 2𝑎𝑠𝑖𝑛 1 2 𝜃𝑑𝜃 = 8𝑎
定积分及其应用 举例 求阿基米德螺线p=a0(a>0)的一段弧（0≤0≤2π)的长度。 解： s=Vp(0)2+(p'()2d0 循环积分 2am S"(a0)2+a-d0 af"v02 1d0 -a6v1+07-g"=a -al2id0] =a[πv1+4π-2ln(2m+V1+4π2]
举 例 0)的一段弧（𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅）的长度。 解: 𝑠 = න 𝛼 𝛽 (𝜌(𝜃)) 2+(𝜌′(𝜃)) 2𝑑𝜃 0 = 2𝜋 (𝑎𝜃) 2+𝑎 2𝑑𝜃 = 𝑎 0 2𝜋 𝜃 2 + 1𝑑𝜃 = 𝑎[𝜃 1 + 𝜃 2| 2𝜋 0 0 − 2𝜋 𝜃 2+1−1 1+𝜃2 dθ] = 𝑎[2𝜋 1 + 4𝜋 2 + 0 2𝜋 1 1+𝜃2 dθ − 0 2𝜋 𝜃 2 + 1𝑑𝜃] = 𝑎[𝜋 1 + 4𝜋 2 − 1 2 ln(2𝜋 + 1 + 4𝜋 2)] 循环积分
定积分及其应用 课堂小结 1.曲线弧长的计算 s-"Aryidx s-["at :["Vo-ao
1.曲线弧长的计算 课 堂 小 结 𝑠 = න 𝑎 𝑏 1 + 𝑦′2 𝑑𝑥 𝑠 = න 𝛼 𝛽 (𝜑′(𝑡)) 2+(𝜓′(𝑡)) 2𝑑𝑡 𝑠 = න 𝛼 𝛽 (𝜌(𝜃)) 2+(𝜌′(𝜃)) 2𝑑𝜃