第十章 重积分
重积分 第十章 重 积 分
第五讲 三重积分的概念
重积分 第五讲 三重积分的概念
重积分 1.三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为(x,y,z)∈C,求分布在2内的物质的 质量M. 解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 2 可得 △VK M=} u(5,门k,k)△vk k=1 (5k,n,3k)
重积分 1. 三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 (𝜉𝑘, 𝜂𝑘, 𝜁𝑘) Δ𝑣𝑘 引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质, 𝜇(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐶, 求分布在 内的物质的 可得 lim 𝜆→0 𝑘=1 𝑛 𝑀 = 𝜇(𝜉𝑘, 𝜂𝑘, 𝜁𝑘)Δ𝑣𝑘 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为
重积分 定义.设f(x,y,z),(x,y,z)∈2，若对2作任意分割： △vk(k=1,2,.,n),任意取点(5kk,k)∈△vk下列“"乘 积和式”极限 77 ∑f,1,)A :记作 f(x.y.z)dv k=1 存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在2上的三重积分 dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似例如 中值定理.设f(x,y,z)在有界闭域2上连续，V为2的 体积则存在（飞，η，）∈2，使得 ∬nfx,y,2)dv=f5,n.)V
重积分 定义. 设𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) , (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Ω, lim 𝜆→0 𝑘=1 𝑛 𝑓(𝜉𝑘 , 𝜂𝑘, 𝜁𝑘)Δ𝑣𝑘 存在, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ʃʃʃΩ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑣 d 𝑣称为体积元素, 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧. 若对 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似.例如 Δ𝑣𝑘( 𝑘 = 1, 2 , ⋯ , 𝑛), (𝜉𝑘, 𝜂𝑘, 𝜁𝑘) ∈ Δ𝑣𝑘下列“乘 , 中值定理. 设𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 在有界闭域 上连续, 则存在 (𝜉, 𝜂, 𝜁) ∈ Ω,使得 ʃʃʃΩ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑣 = 𝑓(𝜉, 𝜂, 𝜁)𝑉 V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作
重积分 2.三重积分的计算 先假设连续函数f(x,y,z)≥0，并将它看作某物体 的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法 方法1。投影法(“先一后二”)
重积分 2. 三重积分的计算 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 先假设连续函数 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≥ 0, 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
重积分 Z1(x,y)≤z≤z2(x,y) 2: (x,y)E D 细长柱体微元的质量为 f(x,y,z)dzdxdy 该物体的质量为 ∬nfx,y,z）dv dxdy )ady 微元线密度 cz2(x,y) f(x,y,z)dx dy 记作Jdxdy儿 f(x,y,z)dz
重积分 𝑧 𝑥 𝑦 D = ඵ 𝐷 dx d 𝑦 Ω:൝ 𝑧1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑧2(𝑥, 𝑦) (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 න 𝑧1(𝑥,𝑦) 𝑧2(𝑥,𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑧 d𝑥 d 𝑦 该物体的质量为 ʃʃʃΩ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑣 න 𝑧1(𝑥,𝑦) 𝑧2(𝑥,𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑧 ඵ 𝐷 𝑑𝑥 d 𝑦 න 𝑧1(𝑥,𝑦) 𝑧2(𝑥,𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑧 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 d 𝑦 细长柱体微元的质量为 ( , ) 2 z = z x y ( , ) 1 z = z x y d xd y 微元线密度≈ 记作
重积分 方法2.截面法〔“先二后一”) :(x)ED b a≤z≤b 2 Z D, 以Dz为底，dz为高的柱形薄片质量为 (f(x.y,z)dxdy)dz 面密度 该物体的质量为 f(x,y,z)dz ∬nfx,z)dv =°(fx,y,)dxdy)dz b 唯人drv)dxay DZ
重积分 𝑎 𝑏 方法2. 截面法 (“先二后一”) Ω: ቊ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑧 𝑎 ≤ 𝑧 ≤ 𝑏 以𝐷𝑧 为底, 𝑑 𝑧 为高的柱形薄片质量为 𝑥 𝑦 𝑧 该物体的质量为 ʃʃʃΩ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑣 = න 𝑎 𝑏 (ඵ 𝐷𝑍 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑥 d 𝑦)𝑑𝑧 න 𝑎 𝑏 d 𝑧ඵ 𝐷𝑍 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑥 d 𝑦 𝑧 𝐷𝑧 �𝐷� 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑥 d 𝑦 dz 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧 面密度≈ 记作 Ω
重积分 方法3.三次积分法 z1(x,y)≤z≤Z2(x,y) 设区域 nco a≤x≤b 利用投影法结果，把二重积分化成二次积分即得： a fx.y.)dv cy2(x) czz(x,y) dx dy f(x,y,z)dz a yi(x) Jz(x,y) 投影法 ∬d=儿ddy cz2(x,y) f (x,y,z)dz z(x,y)
重积分 投影法 方法3. 三次积分法 设区域 Ω: 利用投影法结果 , (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷: ቊ 𝑦1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦2(𝑥) 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑧1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑧2(𝑥, 𝑦) 把二重积分化成二次积分即得: ʃʃʃΩ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑣 = ඵ 𝐷 𝑑𝑥 d 𝑦 න 𝑧1(𝑥,𝑦) 𝑧2(𝑥,𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑧 ʃʃʃΩ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑣 න 𝑧1(𝑥,𝑦) 𝑧2(𝑥,𝑦) න 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) d 𝑧 𝑦1(𝑥) 𝑦2(𝑥) = න d 𝑦 𝑎 𝑏 d 𝑥
重积分 例1.计算三重积分 xdxdydz,其中2为三个坐标 面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域 0≤z≤1-x-2y Z 解： 1 2:〈 0≤y≤21-刘 0≤x≤1 x dxdydz y 1-x) -x-2y y dz =xdx 「21-x) (1-x-2y)dy 0 x-2x2+x3)dx= 1 48
重积分 例1. 计算三重积分 ʃʃʃΩ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 其中 为三个坐标 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1 所围成的闭区域 . 1 𝑥 𝑦 𝑧 1 1 2 解: Ω: ∴ ʃʃʃΩ 𝑥 d 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = න 0 1 𝑥 d 𝑥 න 0 1 2 (1−𝑥) (1 − 𝑥 − 2𝑦) d 𝑦 න 0 1−𝑥−2𝑦 d 𝑧 = 1 4 න 0 1 (𝑥 − 2𝑥 2 + 𝑥 3 ) d 𝑥 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 − 𝑥 − 2𝑦 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 2 (1 − 𝑥) 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 න 0 1 2 (1−𝑥) = න d 𝑦 0 1 𝑥 d 𝑥 = 1 48 面及平面
重积分 例2.计算 0 其中n兰+若+ +品+sL -C≤z≤C z2 解：n :D2: b2s1- X c2 先二后一 &∬zdxdydz-dz axdy 4 =22mab(1-23dz=15abc3
重积分 𝑥 𝑦 例2. 计算三重积 𝑧 分 ʃʃʃΩ 𝑧 2 d 𝑥 d 𝑦 d 𝑧 , 其中Ω: 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2 + 𝑧 2 𝑐 2 ≤ 1. 解: Ω: ∴ ʃʃʃΩ 𝑧 2 d 𝑥 d 𝑦 d 𝑧 = = 2 න 0 𝑐 𝑧 2𝜋𝑎𝑏(1 − 𝑧 2 𝑐 2 ) d 𝑧 −𝑐 ≤ 𝑧 ≤ 𝑐 𝐷𝑧 : 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 ≤ 1 − 𝑧 2 𝑐 2 ඵ 𝐷𝑧 න d 𝑥 d 𝑦 −𝑐 𝑐 𝑧 2 d 𝑧 = 4 15 𝜋𝑎𝑏𝑐 3 𝑎 𝑏 𝑐 用“先二后一 ” 𝐷𝑧 𝑧