微 分 方 程
第八讲 主讲人：卢自娟 常系数非齐次线性微分方程
微 分 方 程 第八讲 常系数非齐次线性微分方程 主讲人：卢自娟
微分方程 1.二阶常系数排齐次线性微分方程解的结构 形如：y+四 +W=f(x),（pq为常数f(x)≠0) 方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程， 定理1：设微分方程y"+py+qy=f(x)的一个特解为y(x), 其对应的齐次线性微分方程y"+py+qy=0,的通解为Y(x), 则非齐次线性微分方程的通解为： y=Y(x)+y"(x)
微 分 方 程 1. 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构 定理1： 形如： 方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程. ᵉ ′′ + ᵉᵉ ′ + ᵉᵉ = ᵈ(ᵉ ),（ᵉ 、为常数,ᵈ(ᵉ ) ≠ ᵼ ） 则非齐次线性微分方程的通解为：
微分方程 定理2：设微分方程y"+py+qy=f1(x)的一个特解为y1*(x), y'+py+qy=f2(x)的一个特解为y2(x), 则y"+py+qy=f1(x)+f2(x)的一个特解为： y=y1*(x)+y2*(x) 因为：y1*”+py1*'+qy1*=f1(x) y2*′′+p2*′+gy2=2(x) 而：（y1*”+y2*")+p(y1*'+y2*')+q(1*+y2*) =fj(x)+f2(x)
微 分 方 程 定理2： ᵉ ᵽ ∗ ′′ + ᵉ ᵉ ᵽ ∗ ′ + ᵉ ᵉ ᵽ ∗ = ᵈ ᵽ (ᵉ ) = ᵈ ᵼ (ᵉ ) + ᵈ ᵽ (ᵉ )
微分方程 2. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解 类型1：f(x)=exPm(x),其中为常数，Pm(x)为x的 次多项式，则y"+py+qy=f(x)的特解形式如下： (1)2≠r1,≠r2,则y*(x)=Qm(x)ex (2)2=r1,1≠r2,则y*(x)=xQm(x)e1x (3)1=r1=r2,则y*(x)=x2Qm(x)e1x 其中Pm(x)与Qm(x)都是x的m次多项式
微 分 方 程 2. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解
常微分方程 例1.求微分方程y”+y=2x2-3的通解。 解：该微分方程所对应齐次方程的特征方程为： r2+1=0,r1=i,r2=-i f(x)=(2x2-3)ex,1=0≠r1r2 故设y*(x)=ax2+bx+c 把[y(x)]'=2ax+b,[y*(x)]'=2a代入原方程整理： a=2 a=2 2 2a+ax"+l +c=2x"-3 b=0 b=0 2a+c=-3 C=-7 该微分方程的通解为： y=C ax +C,sin +2x-7
微 分 方 程 例1. 解： 该微分方程所对应齐次方程的特征方程为： 该微分方程的通解为： ᵉ = ᵆ ᵼ ᵈᵉᵉᵉ + ᵆ ᵽ ᵉᵈᵈᵉ + ᵽ ᵉ ᵽ − ᵽ 代入原方程整理： ᵽ ᵈ + ᵈ ᵉ ᵽ + ᵈᵉ + ᵈ = ᵽ ᵉ ᵽ − ᵽ
微分方程 例2.求微分方程y"-4y=e2x的通解. 解：该微分方程所对应齐次方程的特征方程为： r2-4=0,T1=2,r2=-2 f(x)=e2x,1=2=r, 故设y*(x)=x(ae2x) [y*(x)]'=ae2x 2axe2x, [y"(x)]"=2ae2x 2ae2x +4axe2x 代入原方程整理： 4a+4a-4x=1 a= 4 该微分方程的通解为：y=C1e2x+Cze2x+4xe2x
微 分 方 程 例2. 解: 该微分方程所对应齐次方程的特征方程为： 该微分方程的通解为： 代入原方程整理： ᵽ ᵈ + ᵽ ᵈᵉ − ᵽ ᵈᵉ = ᵼ ᵈ = ᵼ ᵽ ᵴ = ᵽ = ᵉ ᵼ
微分方程 例3.求微分方程y"-2y+y=ex(1+x)的通解。 解：该微分方程所对应齐次方程的特征方程为： r2-2r+1=0,T1=1(二重) f(x)=(1+x)e,2=1=r1=r2,f 故设y*(x)=x2(ax+b)ex [y(x)]=(3ax2+2bx+ax3+bx2)ex, y"(x)]"=(6ax +2b+3ax2 +2bx+3ax2+2bx+ax3+bx2)ex 代入原方程整理：6ax+2b=1+x 该微分方程的通解为：y=C1e*+C2xex+(（Gx3 3x2)e
微 分 方 程 例3. 解： 该微分方程所对应齐次方程的特征方程为： 该微分方程的通解为： 代入原方程整理： ᵽ ᵈ ᵉ + ᵽ ᵈ = ᵼ + ᵉ ᵴ = ᵼ = ᵉ ᵼ = ᵉ ᵽ
微分方程 类型2：f(x)=ex[Pm(x)cosωx+Qn(x)sinωx], 其中，w为常数，Pm(x)为x的m次多项式，Qn(x)为x 的n次多项式，则y"+py+qy=f(x)的特解形式如下： (1)2士iw不是特征根 y(x)=[Ri(x)cosox+Hi(x)sinoxleAx (2)入士iω有一个是特征根 y*(x)=x[R(X)cosωx+H(x)sinωx]ex 其中l=max{m,n}
微 分 方 程
微分流 求微分方程y"+y=xCos2x的通解。 解：该微分方程所对应齐次方程的特征方程为： r2+1=0,r1=i,r2=-if(x)=xcos2x,λ+ωi=2i 故设y*(x)=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x [y*(x)]'=(a+2cx +2d)cos2x+(c-2ax-2b)sin2x, [y*(x)]"=(4c-4ax-4b)cos2x-(2a +4cx +4d+2a)sin2x 代入原方程整理：(4a+3cx+3d)=0 1 a=- 3 4c-3ax-3b=x C=0 b=0 该微分方程的通解为： 4 d= 9 y Cicosx C2sinx+(-xcos2x+sin2x) 9
微 分 方 程 例4 ： 解： 该微分方程的通解为： 代入原方程整理： 故设