第四讲 定积分的换元积分法 与分部积分法
第四讲 定积分的换元积分法 与分部积分法
定积分 二.复习引入 求dr 3引例1：∫d =(2反-2m1+VI 解： 令Vx=t,x=t2,dx=2tdt =2-2m3 原式=∫+2tdt 原式=142tdt =2生dt 换元需换限； =2t-2lm|1+t|+C X=4,t=2;x=9,t=3 =2vx-2lnl1+√x+C (2t 21nl1+ =(2-2ln) 无需回代
1 1+ 𝑥 引例1： 𝑑𝑥 令 𝑥 = 𝑡, 𝑥 = 𝑡 2 解： ,𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡 =原式 1 1+𝑡 2𝑡𝑑𝑡 2= 𝑡+1−1 1+𝑡 𝑑𝑡 = 2𝑡 − 2𝑙𝑛 |1 + 𝑡| + 𝐶 = 2 𝑥 − 2𝑙𝑛 |1 + 𝑥| + 𝐶 求4 9 1 1+ 𝑥 𝑑𝑥 原式 = 2 3 1 1+𝑡 2𝑡𝑑𝑡 = 2𝑡 − 2𝑙 𝑛 1 + 𝑡 | 3 2 = 2 − 2𝑙 𝑛 4 3 换元需换限； 𝑥 = 4,𝑡 = 2; 𝑥 = 9,𝑡 = 3 无需回代 = (2 𝑥 − 2𝑙𝑛 |1 + 𝑥|)|3 2 = 2 − 2𝑙𝑛 4 3 一. 复习引入
定积分 二.定积分的换元积分法 定理1设函数f(x)在区间[a,b]上连续，令x=p(t),且p(t)满足 (1)p(a)=a,p(B)=b (2)p(t)在[，B]上具有连续导数，且当te[a,B]或t∈[B,g 时p(t)∈[a,b],则有 f(x)dx-((t)dt 特点：1、换元需换限2、无需回代
定理1 设函数𝒇(𝒙)在区间[a,b]上连续，令𝒙 = 𝝋(𝒕),且𝝋(𝒕)满足 (1) 𝝋 𝜶 = 𝒂, 𝝋 𝜷 = 𝒃 (2) 𝝋 𝒕 在 𝜶,𝜷 上具有连续导数，且当𝒕𝛜 𝜶,𝜷 或𝒕 ∈ [𝜷,𝜶] 时 𝝋 𝒕 ∈ [𝒂, 𝒃],则有 �� 𝒃 �� = �𝒅� �� �� 𝜷 𝒇 𝝋 𝒕 𝝋′ 𝒕 𝒅𝒕 特点：1、换元需换限 2、无需回代 二. 定积分的换元积分法
定积分 例2 求后 解令v1+x=t,则x=t2-1,dx=2tdt, 且当x=0时t=1 x=3时，t=2 把它们都代入原式得： 6年dx=,2tdt =2财t2-1)dt=(-2t)12 =(传-2)月
例２ 求�� 𝟑 𝒙 𝟏+𝒙 𝒅𝒙 解 令 𝟏 + 𝒙 = 𝒕, 则𝒙 = 𝒕 𝟐 − 𝟏, 𝒅𝒙 = 𝟐𝒕𝒅𝒕, 且当𝒙 = 𝟎 时𝒕 = 𝟏 𝒙 = 𝟑时,𝒕 = 𝟐 把它们都代入原式得： �� 𝟑 𝒙 𝟏+𝒙 �� = �𝒅� 𝟐 (𝒕 𝟐−𝟏) 𝒕 𝟐𝒕𝒅𝒕 ��2= 𝟐 (𝒕 𝟐−𝟏)𝒅𝒕 = 𝟐 𝟑 𝒕 𝟑 − 2t | 2 1 = 𝟏𝟒 𝟑 − 2 = 8 3
定积分 例3 求xe苦d 解因为店ek=6e兰a号 所以，令-苦= 则当x=0时u=0 当x=1时，u=- 于是 6e号a-eau=e。1-e月 1 0
例3 求�� 𝟏 𝒙𝒆 − 𝒙 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 解 因为�� 𝟏 𝒙𝒆 − 𝒙 𝟐 �� =�𝒅� �� 𝟏 𝒆 − 𝒙 𝟐 𝟐 𝒅 𝒙 𝟐 𝟐 所以，令− 𝒙 𝟐 𝟐 = 𝒖 则当𝒙 = 𝟎 时𝒖 = 𝟎 于是 当𝒙 = 𝟏时，𝐮 = − 𝟏 𝟐 �� 𝟏 𝒆 − 𝒙 𝟐 𝟐 𝒅 𝒙 𝟐 𝟐 0 −= − 1 2 𝑒 𝑢𝑑𝑢 = −𝑒 𝑢 | − 1 2 0 =1−𝑒 − 1 2
定积分 注：若不做代换，就不换限 6xear=6ea-e6=1- x2 2 例5求sin4 xcosxdx 解：sin'xcosxdx=sin4 xdsinx sin5x 1 5 0
例５ 求�� 𝝅 𝟐 sin𝟒𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 �� :解 𝝅 �� = �𝒅𝒙𝒔𝒐𝒄𝒙𝟒�sin𝟐 𝝅 𝟐 sin𝟒𝒙𝒅𝒔𝒊𝒏𝒙 �� 𝟏 𝒙𝒆 − 𝒙 𝟐 �� =�𝒅� �� 𝟏 𝒆 − 𝒙 𝟐 𝟐 𝒅 𝒙 𝟐 𝟐 = −𝒆 − 𝒙 𝟐 𝟐 | 𝟏 𝟎 = 𝟏 − 𝟏 𝒆 注：若不做代换，就不换限 = ฬ 𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 𝟓 𝝅 𝟐 𝟎 = 𝟏 𝟓
定积分 例4* 求 x2 dx V1-x 解： 设x=sint,则dx=costdt 当x=0 时t=0 x= 1 时t=8 代入原式得： x2 6 dx sin2tdt= 61-c0S2t V1-x dt Jo 2 1π1 π V3 -sin2t 6) 0 12 8
例4* 求 解： 设x = 𝐬𝐢𝐧𝐭 ，则𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒅𝒕 当𝒙 = 𝟎 时𝒕 = 𝟎 𝒙 = 𝟏 𝟐 时𝒕 = 𝝅 𝟔 代入原式得： න 0 1 2 𝑥 2 1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 න 0 1 2 𝑥 2 1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = න 0 𝜋 6 𝑠𝑖𝑛 2 𝑡𝑑𝑡 = 1 2 ( 𝜋 6 − ቤ 1 2 𝑠𝑖𝑛2𝑡 𝜋 6 0 ) = 𝜋 12 − 3 8 = න 0 𝜋 6 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑡 2 𝑑𝑡
定积分 例5设f(x)在[-a,a]上连续， 试证明 Erow=fat x为偶数， x为奇数. 证：因为 [rear=心rear+ (1) 对积分∫nf(x)dx做变量代换x=-t, 得心fxdx=-r-0ar=r-a
例5 设𝒇(𝒙) 在[−𝒂, 𝒂] 上连续，试证明 证： 因为 ��−对积分 𝟎 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 做变量代换𝒙 = −𝒕, 得 (1) ��− 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ൝ 2 0 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑥为偶数， 0 𝑥为奇数. න −𝒂 𝟎 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = − න 𝒂 𝟎 𝒇(−𝒕) 𝑑𝑡 = න 0 𝑎 𝑓 −𝑥 𝑑𝑥 න −𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න −𝑎 0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න 0 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
定积分 当f(x)为偶函数时，f(-x)=f(x), y=f(x) f(x)dx=f(x)dx (1)式变为」af(x)dx=26f(x)dx 当f(x)为奇函数时，f(-x)=-f(x), y=f(x) f(x)dx=-f(x)dx (1)式变为，f(x)dx=0 a 2
当𝒇(𝒙)为偶函数时，𝒇(−𝒙) = 𝒇(𝒙), ��− 𝟎 0 = �𝒅� �� �� 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (1)式变为��− 𝒂 �� �� = �𝒅� �� �� 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 当𝒇(𝒙)为奇函数时，𝒇 −𝒙 = −𝒇 𝒙 , ��− 𝟎 0 − = �𝒅� �� �� 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (1)式变为��− 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
定积分 例7计算下列定积分 (1) xcos2x 2x2+1 dx 解： (1)被积函数 xCOS2x 2x2+1 为奇函数，且积分区间 [-4,4]关于原点对称，所以 xcos2x dx =0 f(x)=x cos(2x) 2x2+1 2x2+1
例７ 计算下列定积分 解: （１）被积函数 𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 2𝑥 2+1 为奇函数，且积分区间 [−𝟒, 𝟒]关于原点对称，所以 (１) −4 4 𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 2𝑥 2+1 𝑑𝑥 4− 4 𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 2𝑥 2+1 𝑑𝑥 = 0