中值定理与导数应用 d(c)=0 d(sinx)cosxdx 1 darcsinx)= dx d( ax )axdx V1-x2 d(cosx )sinxdx 1 1 d(inxl )=dx d(tanx )sec2xdx d(ex )=exdx 1 d(cotx csc2xdx d(arctanx)=1xdx d(2v)=后dx d(secx )secxtanxdx 1 11 d(- d(-arccotx)=dx 是)三2dx d(-cscx)=cscxcotxdx X d( +1 )=xdxu+-1) u+1
𝒅(𝒄) = 𝟎 𝒅 = 𝒙 𝝁 𝒅𝒙 (𝝁 ≠ −𝟏) 𝒅( ) = 𝒂𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒆 𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝒆 𝒙 𝒍𝒏|𝒙| 𝒙 𝝁+𝟏 𝝁 + 𝟏 𝒂 𝒙 𝒍𝒏𝒂 𝒅( ) = 𝟏 𝒙 2 𝒙 𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒄𝒔𝒄𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒔𝒆𝒄𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝒄𝒔𝒄𝒙𝒄𝒐𝒕𝒙𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 −𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 −𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒙 −𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒅( ) = 𝟏 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝟏 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝟏 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒅( ) = 𝟏 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 −𝒂𝒓𝒄𝒄𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙 −𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅( ) = 𝟏 𝒙 𝟐 − 𝒅𝒙 1 𝑥
第六讲 洛必达法则
第六讲 洛必达法则
中值定理与导数应用 1.洛必达法则（L'Hospital) 18型 定理1：设函数f(x)与g(x)满足条件 (1) lim f(x)=lim g(x)=0 x→X0 x→X0 (2）) f(x),g(x)在x的某去心邻域可导，g'(x)≠0 f'(x) (3)若1im k0g() =rr为有限数（或∞》； lim f(x) f'(x) 则有 lim =r. x→xog(x) x-xog'(x)
1. 0 0 型 1.洛必达法则（𝑳′𝑯𝒐𝒔𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍) 定理1： 设函数𝒇(𝒙)与𝒈(𝒙)满足条件 (1) (2) 𝒇(𝒙),𝒈(𝒙)在𝒙0的某去心邻域可导,𝒈′(𝒙) ≠ 𝟎 (3) 若 则有 {𝒓为有限数(或∞)} ; 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎 𝒈 𝒙 = 𝟎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎 𝒇′(𝒙) 𝒈′(𝒙) = 𝒓 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎 𝒇′(𝒙) 𝒈′(𝒙) = 𝒓
中值定理与导数应用 例1：求极限： x2-3x+2 (1)lx2-5x+4 解：①验型 (才可用洛必达法则) (x2-3x+2)1 ②原式=lim X(x2-5x+4) 2X-3 lim 直接代入 x12x-5 2-3 2-5 1 三 3
例1：求极限： (1) 解：①验型 ②原式= 𝟎 𝟎 (才可用洛必达法则) 直接代入 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 (𝒙 𝟐−𝟑𝒙 + 𝟐)′ (𝒙 𝟐−𝟓𝒙 + 𝟒)′ = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝟐𝒙 − 𝟑 𝟐𝒙 − 𝟓 = 𝟐 − 𝟑 𝟐 − 𝟓 = 𝟏 𝟑
中值定理与导数应用 1-coSx (2) lim X→0 x2 解： ①验型 才可用洛必达法则) (1-c0Sx)1 ②原式= lim x-0 (x2)Y sinx lim X-→0 2x 0 ③继续验型 -0 直接代入 COSx 1 三 lim X→0 2 2
(2) 解： ①验型 ②原式= 𝟎 𝟎 (才可用洛必达法则) ③继续验型 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒙 𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙)′ (𝒙 𝟐)′ = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟐𝒙 𝟎 𝟎 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟐 = 𝟏 𝟐
中值定理与导数应用 In(1+x) (3) lim X→0 x2 解：①验型 。才可用洛必达法则) 1 ②原式= lim 1+x X→0 2x 1 lim x02x(1+x) =00
(3) 解：①验型 ②原式= 𝟎 𝟎 (才可用洛必达法则) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒍𝒏(𝟏 + 𝒙) 𝒙 𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝟏 𝟏 + 𝒙 𝟐𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝟏 𝟐𝒙(𝟏 + 𝒙) = ∞
中值定理与导数应用 使用洛必达法则的步骤： (1)先验型（或3）： (2)使用洛必达法则； (3)继续验型可多次使用洛必达法则 直至分母（或分子）一方不为0（∞）： (4)直接代入
使用洛必达法则的步骤： (1)先验型𝟎 𝟎 （或∞ ∞ ）； (2)使用洛必达法则； (3)继续验型可多次使用洛必达法则 直至分母(或分子)一方不为0（∞）; (4)直接代入
中值定理与导数应用 练习：求极限 sinx-sina (1) lim X→a x-a ex-e-x (2) lim X→0 sinx x-1 (3) lim x→1 Inx X-2 (4) lim x→2x2-4
练习： 求极限 (1) (2) (3) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒍𝒏𝒙 (4) 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 𝒙 − 𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟒 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒂 𝒔𝒊𝒏𝒙 − 𝒔𝒊𝒏𝒂 𝒙 − 𝒂 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒆 𝒙 − 𝒆 −𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙
中值定理与导数应用 x2+3x+2 但是：(1) 4mx2+5x+4 解：①验型不是 0 12+3+2 直接代入 ②原式=lim x→1 12+5+4 6 10 5
但是： (1) 解： ①验型不是 ②原式= 直接代入 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟒 𝟎 𝟎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟏 𝟏 𝟐 + 𝟑 + 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟓 + 𝟒 = 𝟔 𝟏𝟎 = 𝟑 𝟓
中值定理与导数应用 sin3x 但是：(2) lim x-→0c0s5X 0 解： ①验型不是 0 直接代入 sin0 ②原式=lim x-→0C0S0 0 limi X→0 =0
但是： (2) 解： ①验型不是 ②原式= 直接代入 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙 𝟎 𝟎 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝒔𝒊𝒏𝟎 𝒄𝒐𝒔𝟎 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟎 𝟎 𝟏 = 𝟎