第三讲 函数的极值
第三讲 函数的极值
中值定理与导数应用 1.函数的极值 不可导 可导 个y f'(xi)=0, 姿 f(x i=1,.,5 F) x X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
𝑥 𝑦 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑓(𝑥1 ) 𝑓(𝑥2 ) 𝑓(𝑥3 ) 𝑓(𝑥4 ) 𝑓(𝑥5 ) 𝑂 可导 𝑥6 𝑥7 𝑥8 𝑓(𝑥7 ) 𝑓(𝑥8 ) 不可导 尖 点 1.函数的极值 𝑓 ′ 𝑥𝑖 = 0, 𝑖 = 1, . , 5
中值定理与导数应用 2.极值定义 定义1：设函数f(x)在点xo及其近旁有定义，若 对xo近旁任意一点x(x≠xo)均有： (1)f(x)f(xo),则称f(x)是f(x)的一个极小值，称点 x,为f(x)的极小值点
定义1：设函数𝒇(𝒙)在点𝒙0及其近旁有定义，若 对𝒙0近旁任意一点𝒙(𝒙 ≠ 𝒙𝟎 )均有： (1) 𝒇(𝒙) 𝒇(𝒙𝟎 ),则称𝒇(𝒙𝟎 )是𝒇(𝒙)的一个极小值，称点 𝒙𝟎为𝒇(𝒙)的极小值点
中值定理与导数应用 定义2：函数f(x)的极大值和极小值统称为极值： 极大值点和极小值点统称为极值点。 说明：(1)极值→y,极值点→x. (2)极值局部概念。 (3)极大值不一定比极小值大。 (4)极值点处一定有f'(x)=0或f'(x)不存在
定义2：函数 𝒇(𝒙) 的极大值和极小值统称为极值； 极大值点和极小值点统称为极值点。 说明： (1) 极值→𝒚，极值点→ 𝒙 . (2) 极值局部概念。 (3) 极大值不一定比极小值大。 (4) 极值点处一定有𝒇′(𝒙) = 𝟎或𝒇′(𝒙)不存在
中值定理与导敛应用 定义3：f'(x)=0的实根称为f(x)的驻点。 定理1：如果函数f(x)在x处可导且有极值存在，则f'(xo)=0. 说明：(1)驻点处不一定存在极值。 如y=x3在x=0处不存在极值。 (2)极值一定在f'(x)=0或f'(x)不存在的点处取得。 如y=x在x=0处取得极值
定义3： 𝒇′(𝒙) = 𝟎的实根称为𝒇(𝒙)的驻点。 如果函数𝒇(𝒙)在𝒙𝟎处可导且有极值存在，则𝒇′(𝒙𝟎 定理1： ) = 𝟎 . 说明：(1)驻点处不一定存在极值 。 如𝒚 = 𝒙 𝟑在𝒙 = 𝟎处不存在极值。 (2)极值一定在𝒇′(𝒙) = 𝟎或𝒇′(𝒙) 不存在的点处取得 。 如𝒚 = |𝒙|在𝒙 = 𝟎处取得极值
中值定理与导数应用 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 图二
𝑥 𝑦 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑂 𝑥5 图二 𝑥6 𝑥7 𝑥8
中值定理与导数应用 定理2：极值存在的第一充分条件： 设函数f(x)在点x处连续，在点x近旁可导（点x除外）。 (1)如果在x的左侧近旁，f'(x)>0,在x的右侧近旁，f'(x)0, 则函数f(x)在x处取得极小值f(xo)。 (3)如果在x的左右两侧近旁，f'(x)同号，f(x)在xo处没有极值
定理2： 极值存在的第一充分条件： 设函数𝒇(𝒙)在点𝒙𝟎处连续，在点𝒙𝟎近旁可导（点𝒙𝟎除外）。 (1)如果在𝒙𝟎的左侧近旁，𝒇′(𝒙) > 𝟎,在𝒙𝟎的右侧近旁，𝒇′(𝒙) 𝟎, 则函数𝒇(𝒙)在𝒙𝟎处取得极小值𝒇(𝒙𝟎 )。 (3)如果在𝒙𝟎的左右两侧近旁，𝒇′(𝒙)同号,𝒇(𝒙)在𝒙𝟎处没有极值
中值定理与导数应用 例1：求下列函数的极值： (1)y=x2-1 解：D=(-o,+∞) y'=2x 令y=2x=0,x=0 X (-0,0) 0 (0,+0) f(0)=0-1=-1 0 + y=x2-1的极小值为-1 y 入
例1： 求下列函数的极值： (1) 𝒚 = 𝒙 𝟐 − 𝟏 解：𝐷 = (−∞, + ∞) 𝑦′ = 2𝑥 𝑥 𝑦′ 𝑦 (−∞, 0) 0 (0, +∞) − 令𝑦′ = 2𝑥 = 0, 𝑥 = 0 0 + ↘ ↗ 𝑓(0) = 0 − 1 = −1 𝑦 = 𝑥 2 − 1的极小值为−1
中值定理与导敛应用 求函数极值的步骤： (1)先求函数的定义域D; (2)求函数的驻点即f'(x)=0,或f'(x1)不存在的点： 1 (3)由D,x,x1划分区间，判定定理判定； (4)求极值，总结
(2)求函数的驻点即𝒇′(𝒙𝟎 ) = 𝟎,或𝒇 ′(𝒙𝟏 )不存在的点； (4)求极值，总结。 (1)先求函数的定义域𝑫； (3)由𝑫，𝒙𝟎 , 𝒙𝟏划分区间，判定定理判定； 求函数极值的步骤：
中值定理与导数应用 (2)y=x3-3x+2 解：x∈(-∞，+o),y=3x2-3, 令y=3x2-3=0,x1=-1,x2=1 X (-∞，-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) y' + 0 0 + y f(-1)=（-1)3-3×(-1)+2=4, f(1)=1-3+2=0 函数y=f(x)在x=一1处有极大值4，在x=1处有极小值0
(𝟐) 𝒚 = 𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟐 解： 𝒙 ∈ (−∞, +∞)， 令𝒚′ = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑 = 𝟎， 𝒙𝟏 = −𝟏, 𝒙𝟐 = 𝟏 𝑥 𝑦′ 𝑦 (−∞, −1) −1 (−1,1) 1 (1, +∞) + 0 − 0 + ↗ ↘ ↗ 函数𝒚 = 𝒇(𝒙)在𝒙 = −𝟏处有极大值4，在𝒙 = 𝟏处有极小值0. 𝒚′ = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑， 𝒇 −𝟏 = （ − 𝟏）𝟑 − 𝟑 × (−𝟏) + 𝟐 = 𝟒， 𝒇(𝟏) = 𝟏 − 𝟑 + 𝟐 = 𝟎