第七讲 函数极限的四则运算
第七讲 函数极限的四则运算
函数极限与连续 1.几种特殊函数的极限 lim C=C, lim 5 =5 X)00 X-→00 C为任意常数； 100 mx2 =0 7 i0 =0 x→+∞VX -6 lim 0 X→00
C为任意常数； lim 𝑥→∞ 𝐶 = C , lim 𝑥→∞ 𝐶 𝑥 𝛼 = 0 , α > 0 lim 𝑥→∞ 100 𝑥 2 = lim 𝑥→∞ −6 𝑥 3 = lim 𝑥→+∞ 7 𝑥 = lim 𝑥→∞ 5 = 0 5 0 0 1.几种特殊函数的极限
函数极限与连续 2.函数极限(x→∞)的运算法则 lim f(x)=A,lim g(x)=B, X00 则limf(x)±g(x)=A±B Y300 limf(x)·g(x)=A·B X00 lim f(x)A g(x)=B ,(B≠0)
设 lim 𝑥→∞ 𝑓 𝑥 = 𝐴, lim 𝑥→∞ 𝑔 𝑥 = 𝐵, 则 lim 𝑥→∞ 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = 𝐴 ± 𝐵 lim 𝑥→∞ 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝐴 ∙ 𝐵 lim 𝑥→∞ 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝐴 𝐵 , (𝐵 ≠ 0) 2.函数极限(𝒙→∞)的运算法则
函数极限与连续 例1：求下列函数的极限。 (1) lim 2x2 -3x+2 X→ 5x+6 解： 原式=lim (2x2-3x+2) X→0∞ (x2-5x+6) x2 3 lim (2 =2 X→00 (1、 5 X
例1： (1) = 2 求下列函数的极限。 解： 原式= 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ 2𝑥 2 − 3𝑥 + 2 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ (2𝑥 2 − 3𝑥 + 2) 1 𝑥 2 (𝑥 2−5𝑥 + 6) 1 𝑥 2 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 → ∞ (2 − 3 𝑥 + 2 𝑥 2 ) (1 − 5 𝑥 + 6 𝑥 2 )
函数极限与连续 x2+4x-5 x3+5-2x (2) lim (3)lim x-0∞x3+5-2x x00x2+4x-5 (x2+4x-5)3 解：=lim 解：取倒数 X→00 (x3+5-2x) x3 x2+4x-5 lim + x-00x3+5-2x lim x2 X→00 (1+ x2+4x-5 lim =0 xo∞x3+5-2x =0 原式=∞
(2) (3) = 0 ∴原式= ∞ 解： 解：取倒数 lim 𝑥→∞ 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 𝑥 3 + 5 − 2𝑥 lim 𝑥→∞ 𝑥 3 + 5 − 2𝑥 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 ∵ lim 𝑥→∞ 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 𝑥 3 + 5 − 2𝑥 = 0 = lim 𝑥→∞ (𝑥 2+4𝑥 − 5) 1 𝑥 3 (𝑥 3+5 − 2𝑥) 1 𝑥 3 = lim 𝑥→∞ ( 1 𝑥 + 4 𝑥 2 − 1 𝑥 3 ) (1 + 5 𝑥 3 − 2 𝑥 2 ) lim 𝑥→∞ 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 𝑥 3 + 5 − 2𝑥
函数极限与连续 函数极限(x→∞) aox@4a1xn-1+.+an box@4b1xm-1+.+bm 0 nm 倒数
分子分母同乘以𝑥的 最高次幂分之一 倒数 lim 𝑥→∞ 𝑎0𝑥 𝑛 + 𝑎1𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏0𝑥𝑚 + 𝑏1𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑚 函数极限(𝒙→∞) = 0, n 𝑚
函数极限与连续 练习：求下列函数的极限。 2x2+3x-4 (1) lim x04x3+5x-1 =(D) (2) 4x2+3x-4 1m5x2+5x-i=（8B） (3) 3x2-4 lim- x→0∞5x-1 =(A) A:0o c D:0E:2
练习：求下列函数的极限。 (1) (2) (3) lim 𝑥→∞ 2𝑥 2 + 3𝑥 − 4 4𝑥 3 + 5𝑥 − 1 = ( ) lim 𝑥→∞ 3𝑥 2 − 4 5𝑥 − 1 = ( ) A:∞ B:4 5 C:3 5 D:0 E:2 lim 𝑥→∞ 4𝑥 2 + 3𝑥 − 4 5𝑥 2 + 5𝑥 − 1 = ( ) D B A
函数极限与连续 课堂小结 求函数极限的方法： (1)先看x的趋近状态， (2)再选择求极限的方法(2种). X→X0 X→00
求函数极限的方法： (1)先看𝒙的趋近状态; (2)再选择求极限的方法(2种). 𝑥 → 𝑥0 𝑥 → ∞
函数极限与连续 布置作业 2x2+4x-1 X-3 (1)lim (4)lim- x005x3+2x-1 x1x2-2x+3 2x2+4x-3 x+1 (2)lim (5)lim x0∞4x2+6X-1 x-1x2-2x-3 x-5 3x3+2x2-2X (3)lim- x5x2-25 (6)lim X→0 2x2+3x
布置作业 (1) lim 𝑥→∞ 2𝑥 2 + 4𝑥 − 1 5𝑥 3 + 2𝑥 − 1 (2) lim 𝑥→∞ 2𝑥 2 + 4𝑥 − 3 4𝑥 2 + 6𝑥 − 1 (3)lim 𝑥→5 𝑥 − 5 𝑥 2 − 25 (4)lim 𝑥→1 𝑥 − 3 𝑥 2 − 2𝑥 + 3 (5) lim 𝑥→−1 𝑥 + 1 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 (6)lim 𝑥→0 3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 2𝑥 2𝑥 2 + 3𝑥