第九讲 微分概念
第九讲 微 分 概 念
导数与微分 一微分概念 1.两个引例 2.微分概念 3.微分的几何意义 4.求微分计算
1. 两个引例 2. 微分概念 3. 微分的几何意义 4. 求微分计算 一.微分概念
导数与微分 两个引例 1.正方形金属薄片受热膨胀时面积变化问题 2.自由落体运动的路程问题
两个引例 1. 正方形金属薄片受热膨胀时面积变化问题 2. 自由落体运动的路程问题
导数与微分 例1：一块正方形金属薄片受热膨胀时，其边长由xo,变 到xo+△x,(如图)问此薄片的面积改变了多少？ 解：设此薄片的边长为x,面积为A,面积的改 变量为△A: xo△x 1x2 △A=(x0+△x)2-x2 =2x0△x+△x2 线性主部高阶无穷小 A=x02 △A≈2x△x=f'(xO)△x Xo Ax
例1：一块正方形金属薄片受热膨胀时，其边长由𝒙𝟎,变 到𝒙𝟎 + △ 𝑥,(如图)问此薄片的面积改变了多少？ 解：设此薄片的边长为𝒙,面积为𝑨，面积的改 变量为∆𝑨: ∆𝑨 ≈ 𝟐𝒙𝟎∆𝒙 𝒙0 ∆𝒙 𝒙0 ∆𝒙 𝑨 = 𝒙𝟎 𝟐 𝒙𝟎∆𝒙 ∆𝒙 2 ∆𝑨 = (𝒙𝟎 + ∆𝒙) 𝟐 − 𝒙𝟎 𝟐 = 𝟐𝒙𝟎∆𝒙 +∆𝒙 𝟐 线性主部 高阶无穷小 =𝑓′(𝑥0 )∆𝑥
导数与微分 例2：求自由落体由时刻t到t+△t所经过路程的近似值。 解：设自由落体运动的路程为 s=9t2在[t,t+△t]时间 1 S(t) 段内经过的路程为△S: 1 △s=29(t+△t)2 1 9t2 S(t+△t) 业 t+△t =gt△t 29(4)2 线性主部 高阶无穷小 △S≈gt△t=S'(t)△t
例2：求自由落体由时刻𝒕到𝒕 + ∆𝒕所经过路程的近似值。 解： ∆𝑺 ≈ 𝒈𝒕∆𝒕 = 𝒈𝒕∆𝒕 线性主部 高阶无穷小 =𝑺 ′(𝒕)∆𝒕 𝒕 + ∆𝒕 𝑺(𝒕) 𝑺(𝒕 + ∆𝒕) 𝒕 设自由落体运动的路程为 𝒔 = 𝟏 𝟐 𝒈𝒕 𝟐 ,在[𝒕, 𝒕 + ∆𝒕]时间 段内经过的路程为∆𝒔: ∆𝒔 = 𝟏 𝟐 𝒈(𝒕 + ∆𝒕) 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝒈𝒕 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝒈(∆𝐭) 𝟐
导数与微分 二.微分的定义 定义1：设函数y=f(x)在xo处有导数f'(x), 则f'(x)△x称作函数y=f(x)在xo处的微分， 记为：dylx=xo=f'(xo)△x 函数y=f(x)在点x处的微分叫做函数的微分， 记为： dy=f'(x)△x y=x dy=dx=(x)'△x=△x dy=f'(x)△x=f'(x)dx =f'(x) 微商=导数 微分 dx
定义1：设函数𝒚 = 𝒇(𝒙)在𝒙𝟎处有导数𝒇′(𝒙𝟎 ), 则𝒇′(𝒙𝟎 )∆𝒙称作函数𝒚 = 𝒇(𝒙)在𝒙𝟎处的微分， 记为： 函数𝒚 = 𝒇(𝒙)在点𝒙处的微分叫做函数的微分， 𝒚 = 𝒙 𝒅𝒚 = 𝒅𝒙 = (𝒙) ′∆𝒙 = ∆𝒙 微商=导数 微分 𝒅𝒚|𝒙=𝒙𝟎 =𝒇′(𝒙𝟎)∆𝒙 𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙 𝒅𝒚=𝒇 ′ 𝒙 ∆𝒙 = 𝒇 ′ 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇′(𝒙) 二. 微分的定义 记为：
导数与微分 定理2：若f(x)在xo点可微，则f(x)在xo点可导； 若f(x)在x点可导，则f(x)在xo点可微， 可导台可微 充分必要条件 -=fco台g-fw+a 6 lim a =0 △x→0 lim Ay=f(xo)y=f(xo)x+aAx △x-0△X 可微
定理2：若𝒇(𝒙)在𝒙𝟎点可微， 可导⟺ 可微 充分必要条件 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒚 ∆𝒙 = 𝒇′(𝒙𝟎) ⟺ ∆𝒚 ∆𝒙 = 𝒇 ′ 𝒙𝟎 + 𝜶 𝒍𝒊𝒎 𝜟𝒙⟶𝟎 𝜶 = 𝟎 𝒍𝒊𝒎 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒚 ∆𝒙 = 𝒇′(𝒙𝟎) ⟺ 𝜟𝒚 = 𝒇 ′ 𝒙𝟎 𝜟𝒙 + 𝜶𝜟𝒙 若𝒇(𝒙)在𝒙𝟎点可导， 则 𝒇(𝒙) 在 𝒙 0点可导； 则𝒇(𝒙)在𝒙𝟎点可微， 可微
导数与微分 例1：求函数y=x2当x由3改变3.01时的dy和△y. 当x由2改变2.01时的dy和△y. 解：dy=(x2)'△x=2xAx 当x=2,△x=0.01时， 当x=3,△x=0.01时， dy=2×2×0.01=0.04 dy=2×3×0.01=0.06 △y=(2.01)2-22=0.0401 △y=(3.01)2-32=0.0601 △y≈dy,△x很小
例1：求函数𝒚 = 𝒙 𝟐当𝒙由𝟑改变𝟑. 𝟎𝟏时的𝒅𝒚和∆𝒚. 解： 𝒅𝒚 = (𝒙 𝟐) ´∆𝒙 = 𝟐𝒙∆𝒙 ∆𝒚 = (𝟑. 𝟎𝟏) 𝟐 − 3 2 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟎𝟏 𝒅𝒚 = 𝟐 × 𝟑 × 𝟎. 𝟎𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟔 当𝒙 = 𝟑, ∆𝒙 = 𝟎. 𝟎𝟏时， 当𝒙由𝟐改变𝟐. 𝟎𝟏时的𝒅𝒚和∆𝒚. 当𝒙 = 𝟐, ∆𝒙 = 𝟎. 𝟎𝟏时， 𝒅𝒚 = 𝟐 × 𝟐 × 𝟎. 𝟎𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟒 ∆𝒚 = (𝟐. 𝟎𝟏) 𝟐 − 2 2 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟎𝟏 ∆𝒚 ≈ 𝒅𝒚 ， |∆𝒙|很小
导数与微分 例2：求下列函数的微分： (1)y sinx 解：dy=(sinx)'dx=cosxdx d(sinx)=cosxdx (2)y xsinx 解：dy=(xsinx)'dx=(xcosx+sinx)dx
例2：求下列函数的微分： 解：𝒅𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 ′𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 (𝟏) 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅(𝒔𝒊𝒏𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 (2) 𝒚 = 𝒙𝒔𝒊𝒏𝒙 解： 𝒅𝒚 = (𝒙𝒔𝒊𝒏𝒙)′𝒅𝒙 = (𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙)𝒅𝒙
导数与微分 (3)y x2Inx 解：dy=(x2lnx)'dx=[(x2)'lnx+(lnx)'x2]dx 1 =(2xlnxdx =(2xlnx+x)dx (4)y Insinx 解：dy=(Insinx)'dx (sinx)dx COSX drr sinx sinx =(cotx)dx
解：𝒅𝒚 = (𝒙 𝟐 𝒍𝒏𝒙)′𝒅𝒙 (𝟑) 𝒚 = 𝒙 𝟐 𝒍𝒏𝒙 (𝟒) 𝒚 = 𝒍𝒏𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒚 = (𝒍𝒏𝒔𝒊𝒏𝒙)′𝒅𝒙 = (𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝒙)𝒅𝒙 解： = (𝒄𝒐𝒕𝒙)𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝒅𝒙 (𝒔𝒊𝒏𝒙)′ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 = [ 𝒙 𝟐 ′ 𝒍𝒏𝒙 + 𝒍𝒏𝒙 ′𝒙 𝟐 ]𝒅𝒙 = (𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙 + 𝟏 𝒙 𝒙 𝟐)𝒅𝒙