第五讲 换元积分法
第五讲 换元积分法
不定积分 1.基本积分公式 (8) sinxdx =-cosx +c (1) kdx =kx+c (9) cosxdx sinx +c xu+1 (2) xudx= u+1 +c(u≠-1) (10) sec2xdx=tanx+c (3) -dx=Inx+c (11) csc2xdx =-cotx+c (4) exdx =ex+c (12) secxtanxdx secx +c Q (5) axdx +c(a>0,a≠1) Ina (13) cscxcotxdx =-cscx +c 1 1 (6) dx=-+c (14) dx arcsinx +c V1-x2 dx=2vx+c (15) dx arctanx +c 1+x2
(2) න 𝑥 𝑢𝑑𝑥 = 𝑥 𝑢+1 𝑢 + 1 + 𝑐 (𝑢 ≠ −1) (1) න 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 (3) න 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 |𝑥| + 𝑐 (4) න 𝑒 𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐 (5) න 𝑎 𝑥𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 + 𝑐 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) (6) න 1 𝑥 2 𝑑𝑥 = − 1 𝑥 + 𝑐 (9) න 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐 (8) න 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 (10) න 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐 (11) න 𝑐𝑠𝑐 2𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐 (12) න 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥𝑑𝑥 = sec𝑥 + 𝑐 (13) න 𝑐𝑠𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑠𝑐𝑥 + 𝑐 (14) න 1 1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐 (15) න 1 1 + 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐 (7) න 1 𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑥 + 𝑐 1.基本积分公式
不定积分 2.三角代换公式 方法二 (1)Va2-x2 (a>0) 令x=acost(0<t<π) 方法-：令x=asint(-<t<罗 dx=-asintdt dx acostdt a2 -a2sin2t acost va2 a2cos2t asint a X Va2 -x2 t t Va2-x2 X sint t=arcsin cost= t=arccos a
(𝟏) 𝒂𝟐 − 𝒙 𝟐 (𝒂 > 𝟎) 方法一：令𝒙 = 𝒂𝒔𝒊𝒏𝒕 − 𝝅 𝟐 < 𝒕 < 𝝅 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒕𝒅𝒕 𝒕 𝒔𝒊𝒏𝒕 = 𝒙 𝒂 𝒙 𝒂 𝒂𝟐 − 𝒙 𝟐 𝒂𝟐 − 𝒂𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝒕 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒕 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒂 令𝒙 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒕 (𝟎 < 𝒕 < 𝝅) 𝒅𝒙 = −𝒂𝒔𝒊𝒏𝒕𝒅𝒕 𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝒕 = 𝒙 𝒂 𝒙 𝒂 𝒂𝟐 − 𝒙 𝟐 𝒂𝟐 − 𝒂𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 = 𝒂𝒔𝒊𝒏𝒕 𝒕 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒂 2.三角代换公式 方法二
不定积分 例1：∫V4-xZdx 解： x=2sint,dx 2costdt (<t< =∫2cost·2 costdt 2 dt x t 2t+sin2t+C V4-x2 =2t+2sintcost C sint x-2 =2 aresin+2登+c t=arcsin 2 aresin吃+4 V4-x2 X -+C cost= 2 2
�𝒅𝟐� :例1 𝟒 − 𝒙 解： 令𝒙 = 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒕,𝒅𝒙 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒕𝒅𝒕 �𝒅𝒕𝒔𝒐𝒄𝟐� ∙ �𝒔𝒐𝒄𝟐� = �� = 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 𝟐 𝒅𝒕 = 𝟐𝒕 + 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒕 + 𝑪 = 𝟐𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟐 + 𝟐 ∙ 𝒙 𝟐 ∙ 𝟒−𝒙 𝟐 𝟐 + 𝑪 = 𝟐𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟒−𝒙 𝟐 𝟐 + 𝑪 = 𝟐𝒕 + 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒕𝒄𝒐𝒔𝒕 + 𝑪 𝒔𝒊𝒏𝒕 = 𝒙 𝟐 𝒕 𝒙 𝟐 𝟒 − 𝒙 𝟐 𝒕 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = 𝟒−𝒙 𝟐 𝟐 − 𝝅 𝟐 < 𝒕 < 𝝅 𝟐
不定积分 (2)Wa2+x2 (a>0) 方法二 方法一：令x=atant(-7<t<爱 令x=acott (0<t<π) dx asec2tdt dx =-acsc2tdt a2 a2tan2t asect a2 a2cot2t acsct Va2 +x2 Va2 +x2 a t t a X Va2+x2 tant Va2+x2 sect cott = csct= a a a a
(𝟐) 𝒂𝟐 + 𝒙 𝟐 (𝒂 > 𝟎) 令𝒙 = 𝒂𝒕𝒂𝒏𝒕 (− 𝝅 𝟐 < 𝒕 < 𝝅 𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝒂𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒕𝒅𝒕 𝒕 𝒕𝒂𝒏𝒕 = 𝒙 𝒂 𝒙 𝒂 𝒂𝟐 + 𝒙 𝟐 𝒂𝟐 + 𝒂𝟐𝒕𝒂𝒏𝟐𝒕 = 𝒂𝒔𝒆𝒄𝒕 令𝒙 = 𝒂𝒄𝒐𝒕𝒕 (𝟎 < 𝒕 < 𝝅) 𝒅𝒙 = −𝒂𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒕𝒅𝒕 𝒕 𝒄𝒐𝒕𝒕 = 𝒙 𝒂 𝒙 𝒂 𝒂𝟐 + 𝒙 𝟐 𝒂𝟐 + 𝒂𝟐𝒄𝒐𝒕𝟐𝒕 = 𝒂𝒄𝒔𝒄𝒕 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = 𝒂𝟐+𝒙 𝟐 𝒂 𝒄𝒔𝒄 𝒕 = 𝒂𝟐+𝒙 𝟐 𝒂 方法二 方法一：
不定积分 1 例2： dx V4+x2 解：令x=2tant,dx=2sec2tdt 原武-2c 2sec2tdt V4+x2 =∫sectdt t In sect tant|C 2 X x 2+2+C tant 2 Inx+4+x2+C sect=V4+x2
例2： න 𝟏 𝟒 + 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 令𝒙 = 𝟐𝒕𝒂𝒏𝒕,𝒅𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐 解： 𝒕𝒅𝒕 = න 𝟏 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒕 𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒕𝒅𝒕 = න 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒅𝒕 = 𝒍𝒏 |𝒔𝒆𝒄𝒕 + 𝒕𝒂𝒏𝒕| + 𝑪𝟏 = 𝒍𝒏 | 𝟒 + 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝒙 𝟐 | + 𝑪𝟏 = 𝒍𝒏 |𝒙 + 𝟒 + 𝒙 𝟐| + 𝑪 𝒕 𝒕𝒂𝒏𝒕 = 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟒 + 𝒙 𝟐 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = 𝟒+𝒙 𝟐 𝟐 原式
不定积分 (3)Vx2 -a2 (a>0) 令x=asect (0<t< 令x=a csctt (0<t< dx=a sect tantdt dx =-a csct cott dt a2sec2t a2 atant va2csc2t a2 acott a Vx2 -a2 t t a Vx2-a2 cost= x sect= a sint csct= a
(𝟑) 𝒙 𝟐 − 𝒂𝟐 (𝒂 > 𝟎) 令𝒙 = 𝒂𝒔𝒆𝒄𝒕 (𝟎 < 𝒕 < 𝝅 𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒕 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒅𝒕 𝒕 𝒄𝒐𝒔𝒕 = 𝒂 𝒙 𝒙 𝒂 𝒙 𝟐 − 𝒂𝟐 𝒂𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐𝒕 − 𝒂𝟐 = 𝒂𝒕𝒂𝒏𝒕 令𝒙 = 𝒂 𝒄𝒔𝒄𝒕𝒕 (𝟎 < 𝒕 < 𝝅 𝟐 ) 𝒅𝒙 = −𝒂 𝒄𝒔𝒄𝒕 𝒄𝒐𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒔𝒊𝒏𝒕 = 𝒂 𝒙 𝒙 𝒂 𝒙 𝟐 − 𝒂𝟐 𝒂𝟐𝒄𝒔𝒄 𝟐𝒕 − 𝒂𝟐 = 𝒂𝒄𝒐𝒕𝒕 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = 𝒙 𝒂 𝒄𝒔𝒄 𝒕 = 𝒙 𝒂
不定积分 1 例3： dx Vx2-a2 解：令x=asect,dx=a sect tant dt asecttantdt sectdt Vx2 -a2 t In |sect tant C1 a Vx2-a2 Vx2-a2 tant In |+C1 a a In|x+vx2-a2+C sect
න 𝟏 𝒙 𝟐 − 𝒂𝟐 𝒅𝒙 解： 令𝒙 = 𝒂𝒔𝒆𝒄𝒕,𝒅𝒙 = 𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒕 𝒕𝒂𝒏𝒕 𝒅𝒕 = න 𝟏 𝒂 𝒕𝒂𝒏𝒕 𝒂𝒔𝒆𝒄𝒕𝒕𝒂𝒏𝒕𝒅𝒕 = න 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒅𝒕 例3： = 𝒍𝒏 |𝒔𝒆𝒄𝒕 + 𝒕𝒂𝒏𝒕| + 𝑪𝟏 = 𝒍𝒏 | 𝒙 𝟐 − 𝒂𝟐 𝒂 + 𝒙 𝒂 | + 𝑪𝟏 = 𝒍𝒏 |𝒙 + 𝒙 𝟐 − 𝒂𝟐| + 𝑪 𝒕 𝒕𝒂𝒏 𝒕 = 𝒙 𝟐−𝒂𝟐 𝒂 𝒙 𝒂 𝒙 𝟐 − 𝒂𝟐 𝐬𝐞𝐜 𝒕 = 𝒙 𝒂 原式
不定积分 例4：(1) x2 dx 3 V9-x2 解：令x=3sint,dx=3 costdt t 1-x2 3cost 9sin2t.3costdt X sint 9sin2tdt -3 X 9 2 t dt 1-cos2 t=arcsin 3 9 9 cost V9-x2 sin2t+c 3 9 9 9 sintcost+c X 1 t- -x2+G 2 2x√9
例4：(𝟏) න 𝒙 𝟐 𝟗 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 解：令𝒙 = 𝟑𝒔𝒊𝒏𝒕,𝒅𝒙 = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝒕𝒅𝒕 = න 𝟏 𝟑𝒄𝒐𝒔𝒕 𝟗𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒕 ∙ 𝟑𝒄𝒐𝒔𝒕𝒅𝒕 = න 𝟗𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒕𝒅𝒕 = 𝟗 න 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 𝟐 𝒅𝒕 = 𝟗 𝟐 𝒕 − 𝟗 𝟒 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒕 + 𝒄 = 𝟗 𝟐 𝒕 − 𝟗 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒕𝒄𝒐𝒔𝒕 + 𝒄 𝒕 𝒔𝒊𝒏𝒕 = 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝟗 − 𝒙 𝟐 𝒕 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟑 = 𝟗 𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟑 − 𝟏 𝟐 𝒙 𝟗 − 𝒙 𝟐 + 𝒄 原式 cos𝒕 = 𝟗−𝒙 𝟐 𝟑
不定积分 Vx2-9 (2) dx X 解：令x=3sect,dx=3 sect tantdt 原慰-厂d 3sect 3tant.3sect tantdt Vx2-9 3tan2tdt t 3 =3(sec't-1)dt sec t= Vx2-9 tant 3tant-3t+C 3 3 cost= 3 =Vx2-9-3arcc0s二+C 3 t=arccos X
(𝟐) න 𝒙 𝟐 − 𝟗 𝒙 𝒅𝒙 解： 令𝒙 = 𝟑𝒔𝒆𝒄𝒕,𝒅𝒙 = 𝟑 𝒔𝒆𝒄𝒕 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒅𝒕 = න 𝟏 𝟑𝒔𝒆𝒄𝒕 𝟑𝒕𝒂𝒏𝒕 ∙ 𝟑𝒔𝒆𝒄𝒕 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒅𝒕 = න 𝟑𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒕𝒅𝒕 = 𝟑 න(𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒕 − 𝟏)𝒅𝒕 = 𝟑𝒕𝒂𝒏𝒕 − 𝟑𝒕 + 𝑪 𝒕 𝒕𝒂𝒏 𝒕 = 𝒙 𝟐−𝟗 𝟑 𝒙 𝟑 𝒙 𝟐 − 𝟗 𝒄𝒐𝒔𝒕 = 𝟑 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝟗 − 𝟑𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝒙 + 𝑪 原式 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = 𝒙 𝟑 𝒕 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝒙