第六讲 无穷限的反常积分
定积分 第六讲 无穷限的反常积分
定积分 一引例： 求由曲线y=是，x=1及x轴，围成的“开口曲边梯形”的面积。 分析：由于这个图形不是封闭的曲边 梯形，而在x轴正向是开口的，所以 y 不能直接用定积分来计算它的面积. 若取实数b>1,求[1，b]的定积分： fx)= 1 AMb)=2dx=-=1- 当b→o时，即为“开口曲边梯形 的面积。 b 0imA(b)=im(1-为=1 h00
定积分 一.引例：
定积分 这个极限称为函数y=克，在无穷区间1，+四) 上的积分，记为十”之dx.由于它已不是普通意义 上的定积分，因此我们把它称为广义积分. 也就是说函数在y=之无穷区间[1，+)上的广义积分， 就是函数y=是在区间1，]上的定积分当b→+ 时的极限是dx
定积分 由于它已不是普通意义 上的定积分，因此我们把它称为广义积分. 上的广义积分
定积分 、无穷限的反常积分： 定义1：设函数f(x)在区间[a,+oo)上连续，取b>a,如果极限： Iimf(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间 [a,+o)上的反常积分，记作：”f(x)dx 十00 f()dx=lim f(x)dx b+∞Ja 当极限存在时，称反常积分收敛： 当极限不存在时，称反常积分发散
定积分 二、无穷限的反常积分： 当极限存在时，称反常积分收敛； 当极限不存在时，称反常积分发散
定积分 定义2：设函数f(x)在区间(-oo,b]上连续，取a<b,如果极限： Iim。f(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间 (-o,b]上的反常积分，记作：∫nf(x)dx "fdx-im f(x)dx 当极限存在时，称反常积分收敛： 当极限不存在时，称反常积分发散
定积分 当极限存在时，称反常积分收敛； 当极限不存在时，称反常积分发散
定积分 定义3：设函数f(x)在区间(-∞，+∞)上连续，如果广义积分 ∫fx)dx和”f(x)dx都收敛，则称上述两广义积分的和 为函数f(x)在无穷区间(-∞，+o)上的广义积分，记作： f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx. f(x)dx lim f(x)dx+lim 00 f(x)dx a→-Ja b+∞J0 当两极限同时存在时，称反常积分收敛； 否则，称反常积分发散
定积分 当两极限同时存在时，称反常积分收敛； 否则，称反常积分发散
定积分 例1求∫ne*dx 解：edk=im e ds=ime8 0 1-→一00 lim (1-ea)=1 0→-00 或ne*dk=e0。=1 例2求0e2xdx 解：0e-2dx=之e2w个0-月
定积分 解： 解： 或
定积分 例3 求 1 dx xlnx 十00 1 解： dx xlnx 所以广义积分”dx发散 例4求n1dr 照：1r=orcia。 -(-)=元
定积分 解： 发散. 解：
定积分 例5 讨论广义积分片”是dx的敛散性 解：当p=1时， 当p≠1时， +1 0∞，p1 综上可知，广义积分p>1时收敛，其值为 :当卸≤1时发散
定积分 的敛散性 时， 时收敛，其值为 时发散
定积分 课堂小结 几种特殊的广义积分用 到的极限： lim ex 0 π X→-00 lim arctanx X→十00 -2 lim eax =0 (a>0) X→一00 元 lim arctanx = lim e-x =0 X-00 -2 X→十00 lim e-ax =0 (a>0) lim xe-ax =0(a>0) X→+0 X→+00
定积分 课堂小结 几种特殊的广义积分用 到的极限：