第十章 重积分
重积分 第十章 重 积 分
第四讲 极坐标系下的二重积分的计算
重积分 第四讲 极坐标系下的二重积分的计算
重积分 1.极坐标下计算二重积分 在极坐标系下，用同心圆r=常数 Q=日+9 及射线0=常数，分划区域D为 0=0k △OK 40k(k=1,2,.n) 0 r=Tk'x 则除包含边界点的小区域外，小区域的面积 w+ara0-宫29s =x+x+ADIAT40 =Tk△rk·△8k k 在△ok内取点T,日)，对应有 入 5k Tk cos Ok,nk Tk sin Ok
重积分 1.极坐标下计算二重积分 ᵆ ᵆ ᵅ 对应有 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 ᵮ ᵰ ᵅ = 1 2 [ ᵅ ᵅ + (ᵅ ᵅ + ᵮ ᵅ ᵅ )]ᵮ ᵅ ᵅ ⋅ ᵮ ᵰ ᵅ ᵮ ᵰ ᵅ (ᵅ = 1,2, ⋯ ,ᵅ ) 在 ᵮ ᵰ ᵅ ᵰ = ᵰ ᵅ ᵰ =ᵰ ᵅ +ᵮ ᵰ ᵅ ᵅ = ᵅ ᵅ ᵮ ᵰ ᵅ 内取点 = 1 2 ( ᵅ ᵅ + ᵮ ᵅ ᵅ ) 2 ⋅ ᵮ ᵰ ᵅ ᵅ ᵅ ᵮ ᵅ ᵅ ᵮ ᵰ ᵅ ᵅ ᵅ ᵮ ᵰ ᵅ
重积分 ∑ f(5k,nk)△o =1 ∑f(ncos可s,元sin元4A0k k三1 f.df(rcssim0)rdrdo
重积分 即
重积分 设-a@ ≤0≤B 则 r=φ，(0) ∥o9,rsin8 rdrdd r中2(8) =ao f(r cose,rsine)rdr 中1（θ） r=φ(0)
重积分 ᵯ ᵅ ᵅ = ᵱ 1 ( ᵰ ) ᵅ = ᵱ 2 ( ᵰ ) ᵅ = ᵱ 1 ( ᵰ ) ᵯ ᵅ ᵅ = ᵱ 2 ( ᵰ ) 设 则
重积分 特别，对D:0≤0≤2m 0≤r≤φ(0) 川ro0,rsin8rdrd6 r=φ() 2元 r中（θ） f(r cos 0,rsinθ)rdr 若f三1则可求得D的面积 ad(u
重积分 特别, 对 ᵅ = ᵱ ( ᵰ )
重积分 思考：下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点，试 问的变化范围是什么？ (1)y r=p(0) (2) y r=p(0) D 0 X 0 X 答：(1)0≤0≤π； (2) 巫2
重积分 答: (1) 0 ≤ ᵰ ≤ ᵰ ; ᵅ = ᵱ (ᵰ ) ᵅ ᵆ ᵆ ᵅ = ᵱ (ᵰ ) ᵅ ᵆ ᵆ 问 的变化范围是什么? (1) (2) (2) − ᵰ 2 ≤ ᵰ ≤ ᵰ 2
重积分 例1.计算 儿eaa,脚0X+y≤a 2 2 解在极坐标系下0：{0：”故 原式 =za2。=1-e的） 由于e~x的原函数不是初等函数，故本题无法用直角 坐标计算
重积分 例1. 计算 其中 ᵃ : ᵆ 2 + ᵆ 2 ≤ ᵄ 2 . 解: 在极坐标系下 原式 由于 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 故 坐标计算
重积分 注：利用例1可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 十00 ① 事实上，当D为R2时， 0 儿axdy-dxdy 利用例1的结果，得 =ed】 4(0ea=mx-。= 故①式成立
重积分 注:利用例1可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 利用例1的结果, 得 = ᵰ ① 故①式成立
重积分 2222 例2.求球体x+y+z≤4a被圆柱面x+y=2aK 2 所截得的（含在柱面内的）立体的体积. 解：设D:0≤r≤2acos9,0≤日≤2之 π 由对称性可知 v=4JVia-rdrdo 2a cos 0 y 4 d 4a2-r2rdr a(-da 32
重积分 例2. 求球体ᵆ 2 + ᵆ 2 + ᵆ 2 ≤ 4ᵄ 2 被圆柱面 ᵆ 2 + ᵆ 2 = 2ᵄᵆ 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 = 32 3 ᵄ 3 ( ᵰ 2 − 2 3 ) ᵅ ᵆ ᵆ ᵆ