微 分 方 程
第四*讲 主讲人：卢自娟 可降阶的二阶微分方程
微 分 方 程 第四*讲 可降阶的二阶微分方程 主讲人：卢自娟
微分方程 1.y0=f(x)型 令u=yn-1)则方程可化为： 4=fx) 这是变量可分离的方程，两边积分，得 u=ff(x)dx+C1=(x)+C1 ym-1)=p(x)+C1 只需连续进行n次积分即可求解这类方程，但请注意： 每次积分都应该出现一个积分常数
微 分 方 程 这是变量可分离的方程，两边积分，得 ᵈᵉ ᵈᵉ = ᵈ(ᵉ )
常分方程 例1.求微分方程y”=eax+sinx(a≠0)的通解。 解：对所给方程积分得： y'=eax+cosx +C 再积分得： y=是eax-sinx+C1x+C2
微 分 方 程 例1. 解: 对所给方程积分得： 再积分得：
微分方程 2.y”"=f(x,y)型 方程的特点：方程右端不显含未知函数y. 方程的解法：令y=p(x),则y”=p'(x) 方程变为：p'=f(化，p) 解出卫=”=p(x,c1) Γdx 再对上式积分，得通解
微 分 方 程 方程的解法： 方程变为： ᵉ ′ = ᵈ(ᵉ , ᵉ ) 再对上式积分，得通解
常分方程 例2.求微分方程(x2+1)y"=2xy的通解。 解： 设y=p(x),则y”=p'()=熙 方程变为：(x2+1)p'=2p g=器dx,∫g=∫dx 得 Imp =In (1+x2)+C dy p=C,(1+2)= y=C1x+)+C2
微 分 方 程 例2. 解： 得 方程变为： (ᵉ ᵽ + ᵼ )ᵉ ′ = ᵽ ᵉᵉ ᵈᵈᵉ = ᵈᵈ (ᵼ + ᵉ ᵽ ) + ᵆ
微分方程 3.y"=fy,y)型 方程的解法：令y=p(y),则 要牌 山k 方程变为： 'f0,p 再对上式积分，得通解。 解出p=盘=pxc1）
微 分 方 程 方程的解法： 方程变为： ᵉ ᵈᵉ ᵈᵉ = ᵈ(ᵉ , ᵉ ) 再对上式积分，得通解。 ᵉ ″ = ᵈᵉ ᵈᵉ ∙ ᵈᵉ ᵈᵉ = ᵉ ᵈᵉ ᵈᵉ
常分方程 例3.求微分方程2yy”=(y)2+1的通解。 解 ∫y ±22y-=x+c +x+c2
微 分 方 程 解: 代入方程： 得 ᵈᵈ (ᵼ + ᵉ ᵽ ) = ᵈᵈᵉ + ᵆ 所求通解为 (ᵼ + ᵉ ᵽ ) = ᵆ ᵼ ᵉ
微分方程 例4.求微分方程yy”"+(y)2=1的通解。 解解法1：令y=p0.则y-出g= dp dy dx yp器+p2-1路-ay ∫g=dy一-i(1-p2)=mv+c, lm(1-p2)=-2my-2C, 1-2=9.p=±1-9=器 ∫器=∫一2-G=x+c2 所求通解为y2=(x+C2)2+C1
微 分 方 程 解: 解法1： 所求通解为
常分方程 解法2： d(yy')=[yy"+(y')2]dx d(x+C1) 即 yy'=x+C1 yx+C1 ydy=(x+C1)dx ∫y=Jx+cd y =x +2Cx+C
微 分 方 程 即 解法2： ᵆ 2 = ᵆ 2 + 2ᵆ ᵼ ᵆ + ᵃ 2