微 分 方 程
第七讲 主讲人：卢自娟 常系数齐次线性微分方程
微 分 方 程 第七讲 常系数齐次线性微分方程 主讲人：卢自娟
分方程 I.二阶常系数齐次线性微分方程的形式 形如：y”+P(x)y+Q(x)y=0 的微分方程称为二阶齐次线性微分方程 y +四′ +四=0，(pq为常数) 方程称为二阶常系数齐次线性微分方程。 y+B四+g=0，(pq不全为常数) 方程称为二阶变系数齐次线性微分方程
微 分 方 程 Ⅰ.二阶常系数齐次线性微分方程的形式 形如： 的微分方程称为二阶齐次线性微分方程 方程称为二阶常系数齐次线性微分方程。 ᵉ ′′ + ᵉᵉ ′ + ᵉᵉ = ᵼ ,（ᵉ 、ᵉ 为常数） ᵉ ′′ + ᵉᵉ ′ + ᵉᵉ = ᵼ ,（ᵉ 、ᵉ 不全为常数） 方程称为二阶变系数齐次线性微分方程
微分方 程 Ⅱ.二阶常系数齐次线性微分方程的解法 方程y”+py+qy=0,(p、q为常数) 猜想：y=erx为微分方程的解. 2 Ix y =re y=re 代入微分方程得： 2 Ix re +pe"tge"=0 X e(++q)=0 因为：erx≠0，只需r2+pr+q=0
微 分 方 程 Ⅱ.二阶常系数齐次线性微分方程的解法 ᵉ ′ = ᵉ ᵈ ᵉᵉ ᵉ ′′ = ᵉ ᵽ ᵈ ᵉᵉ 代入微分方程得： ᵉ ᵽ ᵈ ᵉᵉ + ᵉᵉ ᵈ ᵉᵉ + ᵉ ᵈ ᵉᵉ = ᵼ ᵈ ᵉᵉ (ᵉ ᵽ + ᵉᵉ + ᵉ ) = ᵼ
微分方程 定义1： 方程r2+pr+q=0称为微分方程 y”+py+qy=0的特征方程. y"+py+qy=0的通解 △=p2-4q,C1,C2为任意常数 △>0 不同实根r1,T2 y Cierix+Czer2x △=0 相等实根r=r1=r2y=C1er1x+xC2e1x △<0 共轭复根r12=au±Biy=ex[C1 cos Bx+C2 sin Bx]
微 分 方 程 定义1： ∆ > ᵼ ∆ = ᵼ ∆ < ᵼ
微分方程 例1.求微分方程y"-y-12y=0的通解. 解：该微分方程所对应的特征方程为： r2-r-12=0 r1=-32=4 该微分方程的通解为： y=Cie-3x Cze4x 练习：y”-4y’-5y=0
微 分 方 程 例1. 解： ᵉ ᵼ = − ᵽ , ᵉ ᵽ = ᵽ 该微分方程的通解为： 练习： ᵃ ʺ − ᵽ ᵉ ˊ − ᵽ ᵉ = ᵼ
微分方程 例2.求微分方程y"-4y+4y=0的通解. 解：该微分方程所对应的特征方程为： r2-4r+4=0 r,=2=r2 该微分方程的通解为： y C1e2x xCze2x 练习：y”-卫y′+3y=0
微 分 方 程 例2. 解： ᵉ ᵼ = ᵽ = ᵉ ᵽ 该微分方程的通解为： 练习： ᵉ ʺ − ᵼᵽ ᵉ ˊ + ᵽᵽ ᵉ = ᵼ
微分方程 例3.求微分方程y"-2y+5y=0的通解。 解：该微分方程所对应的特征方程为： r2-2r+5=0 △=4-4X5=-6 v公=V-16=±4i 2+4i 12 =1+2i,r2=1-2i 该微分方程的通解为： y ex[Cicos2x+C2sin2x] 练习：y"-4y’+5y=0
微 分 方 程 例3. 解： 该微分方程的通解为： 练习： ᵃ ʺ − ᵽ ᵉ ˊ + ᵽ ᵉ = ᵼ ∆ = ᵽ − ᵽ ×ᵽ = − ᵼᵽ
微分方程 例4.求微分方程 +2+s=0满足初始条件s1:=0=4 slt=0=-2的特解。 解：该微分方程所对应的特征方程为： r2+2r+1=0 1=-1=2 该微分方程的通解为：s=C1et+tC2e-t St=0=C1e-0+0C2e-0=C1=4 s'=-C1e-t-tCze-t+Cze-t s'lt=0=-C1e0-0C2e0+C2e0=-4+C2=-2 C2=2 原方程的特解为 s 4e-t+2te-t
微 分 方 程 例4. 解： ᵉ ᵼ = − ᵼ = ᵉ ᵽ 该微分方程的通解为： 原方程的特解为
常微分方程 3.n阶常系数齐次线性微分方程的通解 一般形式ym+p1ym-1)+p2ym-2)+.+pny=( p1,p2,卫n均为常数 D微分算子，3记作D”y L(D)=Dn+piDn-1+p2Dn-2++pn-1D+pn 微分方程记作L(D)y=0 微分方程对应的特征方程记作L(r)=0
微 分 方 程