第十章 重积分
重积分 第十章 重 积 分
第五讲 三重积分的概念
重积分 第五讲 三重积分的概念
重积分 1.三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域☐内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为(yz)∈C,求分布在☐内的物质的 质量M. 解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 可得 n M=lim(5k,k,3k)△v 0 k=1 信5
重积分 1. 三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ( ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ ) ᵮ ᵆ ᵅ 引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质, ᵰ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ) ∈ ᵃ , 求分布在 内的物质的 可得 ᵄ = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为
重积分 定义. 设yz),(yz)∈2， 若对□作任意分割： △y(k=1,2,.,n, 任意取点（传5）∈△y,下列“乘 积和式”极限 m∑f,女)aw记作 Ja fx.y.2)dv k=1 存在，则称此极限为函数fyz） 在止的三重积分 dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作ddz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似.例如 中值定理.设f(x,y,z)在有界闭域□止连续，V为的 体积，则存在（传）∈2， 使得 ∬nfx,y,2)dv=f5sV
重积分 定义. 设ᵅ(ᵆ ,ᵆ ,ᵆ) , (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ) ∈ ᵯ , 存在, ᵅ(ᵆ ,ᵆ ,ᵆ) ᵅᵆᵅᵆᵅ ᵆ . 若对 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似.例如 ᵮ ᵆ ᵅ ( ᵅ = 1, 2 , ⋯ , ᵅ ), ( ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ ) ∈ ᵮ ᵆ ᵅ , 下列“乘 中值定理. 在有界闭域 上连续, 则存在 (ᵰ ,ᵰ ,ᵰ) ∈ ᵯ , 使得 = ᵅ(ᵰ ,ᵰ ,ᵰ)ᵄ V 为的 体积, 积和式” 极限 记作
重积分 2.三重积分的计算 先假设连续函数fyz)≥0， 并将它看作某物体 的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法： 方法1。投影法（“先一后二”)
重积分 2. 三重积分的计算 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 先假设连续函数 ᵅ(ᵆ ,ᵆ ,ᵆ) ≥ 0, 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
重积分 z1(x,y)≤z≤Z2(x,y) 2: (x,y)∈D 细长柱体微元的质量为 cz2(x.y) y.z)dz)dxdy 该物体的质量为 ∬nfx,y,z)dv dxdv f(x.y.z)dz dxdy 微元线密度≈ cz2(x.y) f(x,y,z)dx dy 记作 dxdy f(x,y,z)dz z1(x,y)
重积分 ᵆ ᵆ 该物体的质量为 ᵆ 细长柱体微元的质量为 微元线密度≈ 记作
重积分 方法2. 截面法（“先二后一 (x,y)∈Dz b 2: a≤z≤b 以Dz为底，dz为高的柱形薄片质量为 (pf(x.y.z)dxdy)dz 面密度≈ 该物体的质量为 f(x,y,z)dz ∬nf,y)dr [(fe.y.z)axdy)dz DZ
重积分 ᵄ ᵄ 方法2. 截面法 (“先二后一 ”) ᵆ ᵆ ᵆ 该物体的质量为 ᵆ ᵃ ᵆ 面密度≈ 记作 ᵯ
重积分 方法3.三次积分法 乙1(xy)≤z≤32(Xy) 设区域 au功en0 a≤x≤b 利用投影法结果，把二重积分化成二次积分即得： ∬nfx,y,2)dv cy2(x) czz(x.y) dy f(x,y,z)dz 2 y1(x) z1(x,y) 投影法 瓜xiv=ardy cz2(x,y) f(x,y,z)dz z1(x,y)
重积分 投影法 方法3. 三次积分法 设区域 ᵯ : 利用投影法结果 , ᵆ 1 (ᵆ ,ᵆ ) ≤ ᵆ ≤ ᵆ 2 (ᵆ ,ᵆ ) 把二重积分化成二次积分即得:
重积分 例1.计算三重积 2 d xdyd,其中为三个坐标 分 面及平面x+2y+z=1 所围成的闭区域 0≤z≤1-x-2y 1 解： 2:〈 0sy≤1-为 2 0≤x≤1 x dxdydz 21-x 1-x-2y ay dz -[xax f2(1-x) (1-x-2y)dy -2x2+dx=8
重积分 例1. 计算三重积 其中为三个坐标 分 ʃʃʃΩ ᵆᵅ ᵆ ᵅ ᵆ ᵅ ᵆ , ᵆ + 2ᵆ + ᵆ = 1 所围成的闭区域 . 1 ᵆ ᵆ ᵆ 1 1 2 解: ᵯ : 0 ≤ ᵆ ≤ 1 − ᵆ − 2ᵆ 0 ≤ ᵆ ≤ 1 2 (1 − ᵆ ) 0 ≤ ᵆ ≤ 1 = 1 48 面及平面
重积分 例2.计算 ∬z2 dxdydz, +经s1 其中若+烂 -C≤Z≤C 2 解：e.Dz3 z2 +6发s1- 先二后一 :∬wdxdydz=rdz axdy m(-dz
重积分 ᵆ ᵆ 例2. 计算三重积 ᵆ 分 解: ᵯ : − ᵅ ≤ ᵆ ≤ ᵅ = 4 15 ᵰ ᵄᵄ ᵅ 3 ᵄ ᵄ ᵅ 用“先二后一 ” ᵃ ᵆ ᵆ