第四讲 定积分的在物理上的应用
第四讲 定积分的在物理上的应用
定积分及其应用 一、定积分在物理上的应用 1、 复习旋转体体积 2、 变力做功问题 3、 水压力 4、 引力
复习旋转体体积 一、定积分在物理上的应用 1、 3、 水压力 2、 变力做功问题 4、 引力
定积分及其应用 复习.1.平面图形绕x轴旋转一周体积计算。 y A y=f(x)B v=miePux b a b
复习.1.平面图形绕𝒙轴旋转一周体积计算. 𝑽 = න 𝒂 𝒃 𝝅[𝒇(𝒙)] 𝟐𝒅𝒙 𝑎 𝑥 b 𝑥 𝑦 𝑥 + 𝑑𝑥 𝐵 𝐴 𝑂 𝑦 = 𝑓(𝑥)
定积分及其应用 复习.2.平面图形绕y轴旋转一周体积计算 由曲线x=p(y)、直线y=c,y=d(c<d)与y轴所围成的 曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为 v=πp'dy +dy x=o(y)
复习.2.平面图形绕𝒚轴旋转一周体积计算. 由曲线 𝒙 = 𝝋(𝒚) 、 直线 𝒚 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑(𝑐 < 𝑑)与𝒚 轴所围成的 曲边梯形,绕𝒚轴旋转一周而成的旋转体的体积为 𝑉 = 𝜋 න 𝑐 𝑑 [𝜑(𝑦)] 2 𝑑𝑦 𝑦 𝑂 𝑥 𝑐 𝑑 𝑥 = 𝜑(𝑦) 𝑦 𝑦 + 𝑑𝑦
定积分及其应用 变力沿直线作功： 引例1：若物体在作直线运动过程中受常力下作用下从移至b (力的方向与物体运动方向一致)，力对物体所作的功为： 若下为变力，力对物 W=F (b-a) 体所作的功W=? 如果物体在运动的过程中所受的力下是变化的，就不 能直接使用此公式，而采用“微元法”思想
二、变力沿直线作功： 引例1：若物体在作直线运动过程中受常力 𝑭 作用下从𝒂移至𝒃 （力的方向与物体运动方向一致），力对物体所作的功为： 𝒂 𝒃 F 若 𝑭为变力，力对物 体所作的功 W=？ 如果物体在运动的过程中所受的力 𝑭 是变化的，就不 能直接使用此公式，而采用“微元法”思想. W= 𝐹 Ԧ (b − 𝑎) 𝑭
定积分及其应用 引例2：若物体在作直线运动过程中变力F(x)作用下从沿x轴上 由a处移到b处，求变力F(x)所作的功： F(x) 0 a xx+dx b 解：微元法：以x为积分变量，积分区间为[a,b] 在区间[a,b]内任取一个小区间[x,x+dx]在[x,x+dx] 上由于变力F(x)是连续变化的，故可以设想作用力F(x) 保持不变，按常力作功公式得功微元为： dw=F(x)dx 将微元dw从α到b求定积分就得到整个区间上所做的功为 w=5F(x)dx
引例2：若物体在作直线运动过程中变力𝑭(𝒙) 作用下从沿𝒙轴上 由𝒂处移到𝒃处,求变力𝑭(𝒙) 所作的功. 在区间[𝒂, 𝒃]内任取一个小区间[𝒙, 𝒙 + 𝒅𝒙],在[𝒙, 𝒙 + 𝒅𝒙] 上由于变力𝑭(𝒙) 是连续变化的,故可以设想作用力𝑭(𝒙) 保持不变,按常力作功公式得功微元为: 解：微元法: 以 𝒙 为积分变量，积分区间为[𝒂, 𝒃]. 将微元𝒅𝒘从𝒂到𝒃求定积分就得到整个区间上所做的功为 �� = �� 𝒃 𝑭 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒘 = 𝑭 𝒙 𝒅𝒙 𝑭(𝒙) 𝑶 𝒂 b 𝒙 𝒙 𝒙 + 𝑑𝑥
定积分及其应用 举例 在原点有一个带电量为+q的点电荷，它产生的电场对周围的 电荷有作用力.现有一个单位正电荷从距原点处沿射线方向 移至距原点为b处（α<b),求电场力做功.又如果把该单位电 荷移至无穷远处电场力做了多少功？ 解：取电荷移动的射线方向为x轴正向，那么电场力为 F= k 2 (k为常数) +q +1 取x为积分变量，积分区间为[α，b] 0 a x x+dx h 在[a,b]内取一个小区间[x,x+dx],在[x,x+dx] 上，以常力代变力的功微元为： k dw = x2 dx
在原点有一个带电量为+𝒒的点电荷,它产生的电场对周围的 电荷有作用力．现有一个单位正电荷从距原点a处沿射线方向 移至距原点为𝒃处(𝒂 < 𝒃) ,求电场力做功．又如果把该单位电 荷移至无穷远处电场力做了多少功? 举 例 ＜一＞ 取𝒙为积分变量,积分区间为[𝒂, 𝒃]. (𝒌为常数) 在[𝒂, 𝒃]内取一个小区间[𝒙, 𝒙 + 𝒅𝒙],在[𝒙, 𝒙 + 𝒅𝒙] 上,以常力代变力的功微元为: 解:取电荷移动的射线方向为𝒙轴正向,那么电场力为 𝐹 = 𝑘𝑞 𝑥 2 𝑑𝑤 = 𝑘𝑞 𝑥 2 𝑑𝑥 +1 𝑶 𝒂 b 𝒙 𝒙 𝒙 + 𝑑𝑥 +𝒒
定积分及其应用 在[α，b]上写出定积分得变力所做的功为： 若移至无穷远处，则所做的功为 w==典ka kq a 物理学中，上述移至无穷远处所做的功叫做电场在α处的电位，于是 知道电场在α处的电位为 V= ka a
在[𝒂, 𝒃]上写出定积分得变力所做的功为: 若移至无穷远处,则所做的功为 物理学中,上述移至无穷远处所做的功叫做电场在𝒂处的电位,于是 知道电场在𝒂处的电位为 𝑾 = න 𝒂 +∞ 𝒌𝒒 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒃→+∞ 𝒌𝒒 ቤ 𝟏 𝒙 𝒃 𝒂 = 𝒌𝒒 𝒂 𝑾 = න 𝒂 𝒃 𝒌𝒒 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = −𝒌𝒒 ቤ 𝟏 𝒙 𝒃 𝒂 = 𝒌𝒒( 𝟏 𝒂 − 𝟏 𝒃 ) 𝑉 = 𝑘𝑞 𝑎
定积分及其应用 举例 直径为0.2米，长为1米的汽缸内充满了压强为9.8×105牛/米3的 气体.若保持温度不变，求推动活塞前进0.5米使气体压缩所做的功. 解建立坐标系如图所示活塞面积为 S=π(0.1)2，根据波义耳定律恒温下， 9.8×10的 气体的压强P与体积V的乘积为常数得， PV=k(k为常数) 当活塞移动到x处时，压缩后气体的体 0.5 积为V=(1-x)S.所以 k k k P=v=( 1-x)5-(1-x)0.01π Xx+dx0.5
举 例 ＜二＞ 直径为0.2米,长为1米的汽缸内充满了压强为9.8×105牛/米3的 气体.若保持温度不变,求推动活塞前进0.5米使气体压缩所做的功. 解:建立坐标系如图所示.活塞面积为 S=𝝅(0.1)2 ，根据波义耳定律,恒温下, 气体的压强P与体积V的乘积为常数得, 当活塞移动到𝒙处时,压缩后气体的体 积为𝑽 = (𝟏 − 𝒙)𝑺.所以 𝑷𝑽 = 𝒌(𝒌为常数） 𝑷 = 𝒌 𝑽 = 𝒌 𝟏 − 𝒙 𝑺 = 𝒌 𝟏 − 𝒙 𝟎. 𝟎𝟏𝝅 5 9.810 𝑂 1 𝑥 ? 𝑂 𝑥 0.5 1 𝑥
定积分及其应用 有已知条件当x=0时，P=9.8×105,故 k=PV=9.8×104×0.01πS=9800π5 从而在x处作用在活塞上的压力为 k F(x)=PS= _9800πS 9800π (1-x)5-(1-x)S 1-x 取x为积分变量，积分区间为[0,0.5]. Xx+dx0.5 在[0,0.5]内取任一个小区间[x,x+dx],在[x,x+dx] 上的功微元为 9800 dw=F(x)dx= 1- n dx 于是，所求的使气体体积压缩所做的功为 dx9800xin 5 w=0 =9800πln2≈2.13×104U)
从而在𝒙处作用在活塞上的压力为 取𝒙为积分变量,积分区间为[𝟎, 𝟎. 𝟓]. 在[𝟎, 𝟎. 𝟓]内取任一个小区间[𝒙, 𝒙 + 𝒅𝒙],在[𝒙, 𝒙 + 𝒅𝒙] 上的功微元为 有已知条件,当𝒙 = 𝟎时, 𝑷 =9.8×105 ,故 于是,所求的使气体体积压缩所做的功为 𝑑𝑊 = 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 = 9800𝜋 1 − 𝑥 𝑑𝑥 𝒌 = 𝑷𝑽 = 𝟗. 𝟖 × 𝟏𝟎𝟒 × 𝟎. 𝟎𝟏𝝅S=9800𝝅𝑺 𝑭(𝒙) = 𝑷𝑺 = 𝒌 𝟏−𝒙 𝑺 = 𝟗𝟖𝟎𝟎𝝅𝑺 𝟏−𝒙 𝑺 = 𝟗𝟖𝟎𝟎𝝅 𝟏−𝒙 0 = �� 0.5 9800𝜋 1−𝑥 𝑑𝑥 = −9800𝜋ln |1 − 𝑥|| 0.5 0 = 9800𝜋𝑙𝑛2 ≈ 2.13 × 104 (𝐽)