第五讲 主讲人：冀彦 复合函数求导法则
多元函数微分法及其应用 第五讲 复合函数求导法则 主讲人：冀彦
多元函激微分法及其应用 1.多元复合函数求导的链式法则 定理.若函数u=(t),v=妙(t)在点t可导， 之=fuy) 在点(uy)处偏导连续则复合函数之=p(t),ψ(t) 在点t可导，且有链式法则 dz oz du oz dv dt-du dt ov'dt
多元函数微分法及其应用 1.多元复合函数求导的链式法则 ᵆ = ᵅ(ᵱ (ᵆ), ᵱ (ᵆ)) 定理. 若函数 ᵆ = ᵱ (ᵆ), ᵆ = ᵱ (ᵆ)在点ᵆ可导, ᵆ = ᵅ(ᵆ , ) 在点(ᵆ , ) 处偏导连续, 在点 t 可导, ᵆ 则复合函数 且有链式法则 ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ
多元函数微分法及其应用 说明： 若定理中f(u,v)在点(u,v)偏导数连续减弱为 偏导数存在，则定理结论不一定成立 u2v 例如：之=fu,v)= u2+2' u2+v2≠0 22 0, u+V=0 u=t,v=t 易知： 9la0)=无0)=0,100y=00)=0 但复合函数之=ft,)= 2 dz1.∂z du oz dv =0.1+0.1=0 du dtav dt
多元函数微分法及其应用 说明: 例如: ᵆ = ᵅ(ᵆ , ᵆ ) = ᵆ = ᵆ , ᵆ = ᵆ 易知: 但复合函数 ᵆ = ᵅ(ᵆ, ᵆ) ≠ =0⋅1+0⋅1= 0 偏导数连续减弱为 偏导数存在, = ᵆ 2 0 , ᵆ 2 + ᵆ 2 = 0 则定理结论不一定成立
多元函教微分法及其应用 推广：设下面所涉及的函数都可微· 1)中间变量多于两个的情形.例如，之=uyW), u=p(t),V=(t),w=ω(t) t oz du oz dv oz dw du dt +ov'dt ow'dt u ↓↓ =fiφ+fw'+fw ttt
多元函数微分法及其应用 推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, ᵆ = ᵅ(ᵆ , ,ᵆ ) , 设下面所涉及的函数都可微 . = ᵅ ′ 1ᵱ ′ + ᵅ ′ 2ᵱ ′ + ᵅ ′ 3ᵱ ′ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ = ᵱ (ᵆ), ᵆ = ᵱ (ᵆ), ᵆ = ᵱ (ᵆ)
多元函数微分法及其应用 2)中间变量是多元函数的情形.例如， z=f(uy),u=o(xy),v=v(xy) Oz Oz du oz dv dx =xx=ffa OzOz du oz 0v ay oayaffa
多元函数微分法及其应用 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, ᵆ = ᵅ(ᵆ , ) , ᵆ = ᵱ (ᵆ ,ᵆ ), ᵆ = ᵱ (ᵆ ,ᵆ ) = ᵅ ′ 1ᵱ ′ 1 + ᵅ ′ 2ᵱ ′ 1 = ᵅ ′ 1ᵱ ′ 2 + ᵅ ′ 2ᵱ ′ 2 ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ
多元函教微分法及其应用 又如，之=fxy),V=(Xy) 当它们都具有可微条件时，有 z=f 0z of dv +ov'0x =fi+fwr X af dv ay =f2y2 X Dv ay 注意： 这里 f不同， O 张表示固定y对x求导，表示固定对x求导 ∂x 口诀：分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导
多元函数微分法及其应用 又如, ᵆ = ᵅ(ᵆ , ), ᵆ = ᵱ (ᵆ ,ᵆ ) 当它们都具有可微条件时, 有 = ᵅ ′ 1 + ᵅ ′ 2ᵱ ′ 1 = ᵅ ′ 2ᵱ ′ 2 ᵆ = ᵅ ᵆ ᵆ ᵆ 注意: 这里 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 与 不同, ᵆ
多元函数微分法及其应用 例1.设z=e“sinv,u=xy,v=x+y,求 ∂z0z ax'Dy 解 az Oz du dz ov 0xdu ax dv dx =eusinv·y+eu cosv.l =exy[y.sin(x+y)+cos(x+y)] 0z∂zau,∂zav dy-du'dy av'dy =eu sinv·X+eu cosv.1 =exy[x.sin(x +y)cos(x +y)]
多元函数微分法及其应用 例1. 设 解: ⋅ ᵆ ⋅ 1 ⋅ ᵆ ⋅ 1 ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ
多元函激微分法及其应用 例2.u=f(x,y,z)=e2+v2+z2,z=x2siny,求 du ou ox'@y 解：du_af,afaz dx 0x 0z ax =2xex2+y2+22+2zex2+y2+z2.2x siny = 2x(1 +2x2 sin2 y)ex2+y2+x4sin2y ou ofof oz dy =ay az'ay x y =2yex2cosy =2(y+x4 siny cosy)ex2ty2+x4sin2y
多元函数微分法及其应用 例2. 解: ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ
多元函数微分法及其应用 t v=cost,求全导数 z 例3.设=uw+sint,u=e, 解 dz ∂zdu.0zdv.az dt du'dt ov'dt ot t =ve -usint +cost u v t =et(cost-sint)+cost tt 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到，下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号
多元函数微分法及其应用 例3. 设 ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ = ᵆ ᵅ ᵆ ᵆ = ᵅ 求全导数 ᵆ , 解: 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号
多元函教微分法及其应用 例4.设w=x+y+2),f具有二阶连续偏导数 求 Ow 02w dx'0x0z w fif 解：令u=X+y+之，V=2,则 w=f(u,v) Ow x y Z x y Z =f.1+fi2 =fi(x+v+z.x)+fz(x+y+z,) =f11+fi2y++zf1+f2y」 =fu+y(x+z)fn+xVzfn+yf
多元函数微分法及其应用 = ᵅ ′ 1(ᵆ + ᵆ + ᵆ , ᵆᵆᵆ ) 例4. 设ᵆ = ᵅ(ᵆ + ᵆ + ᵆ ,ᵆᵆᵆ ), 求 解: 令 ᵆ = ᵆ + ᵆ + ᵆ , ᵆ = ᵆᵆᵆ , ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ = ᵅ(ᵆ , ᵆ ) = ᵅ ′ 1 ⋅ 1 + ᵅ ′ 2 ⋅ ᵆᵆ + ᵆᵆ ᵅ ′ 2(ᵆ + ᵆ + ᵆ, ᵆᵆᵆ ) 则 = ᵅ ″ 11 ⋅ 1 = ᵅ ″ 11 + ᵆ (ᵆ + ᵆ ) ᵅ ″ 12 + ᵆ ᵆ 2 ᵆ ᵅ ″ 22 + ᵆ ᵅ ′ 2 + ᵅ ″ 12 ⋅ ᵆᵆ + ᵆ ᵅ ′ 2 + ᵆᵆ [ ᵅ ″ 21 ⋅ 1 + ] ᵅ ″ 22 ⋅ ᵆᵆ , ᵅ ′ 1 ,ᵅ ′ 2