第十讲 多元函数求极值
多元函数微分法及其应用 第十讲 多元函数求极值
多元函激微分法及其应用 1.多元函数的极值 定义：若函数z=f(x,y)在点P0(xo,y0)的某邻域内有 fxy)≤fr) 或f(x,y)≥f(xo,yo) 则称函数在该点取得极大值（或极小值）， z=3X +4y z=-vx2+y2 y 100
多元函数微分法及其应用 1.多元函数的极值 ᵈ(ᵉ ,ᵉ ) ≤ ᵈ(ᵉ ᵼ ,ᵉ ᵼ ) ᵆ = 3ᵆ 2 + 4ᵆ 2 ᵆ = ᵆᵆ 100 则称函数在该点取得极大值(或极小值)
多元还数微分法及其应用 定理1（必要条件）：若函数z=f(x,y)在点P(xo,yo)处存在偏导数， 且在该点处存在极值，则：fx(x,yo)=0,y(xoyo)=0. 证明 因为z=f(x,y)在点Po(xo,yo)处取得极值，故 z=f(x,yo)在x=xo处取得极值 z=f(xo,y)在y=yo处取得极值 根据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立。 说明：使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点 例如，z=xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值
多元函数微分法及其应用 证明 : 根据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立。 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 但驻点不一定是极值点. 例如, 但在该点不取极值
多元逐数微分法及其应用 定理2（充分条件）：若函数z=f(x,y)在点P。(xo,yo)的某邻域内 具有一阶和二阶连续偏导数，且：fx(xo,y0)=0,y(xo,yo)=0. fxx(xo,yo)=A,fy(xo,yo)=B.fyy (xo,yo)=C. 啡)当ACB的0，兵有数日0秘 2)当AC-B2<0时，没有极值。 3)当AC-B=0时，是否有极值，待定
多元函数微分法及其应用 2) 当AC-B2<0时，没有极值。 3) 当AC-B2=0时，是否有极值，待定
多元函数微分法及其应用 例1.求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值。 解：第一步求驻点. 解方程组.(x,)=3x2+6x-9=0 lf(x,y)=-3y2+6y=0 得驻点：(1,0)，(1,2)，（-3,0)，(-3,2). 第二步判别： fxx(x,y)=6x+6,fxy(x,y)=0,fvy(x,y)=-6y+6 在点(1,0)处，A=12,B=0,C=6； AC-B2=12×6=48>0,A>0 故在点(1,0)处f(1,0)=-5为极小值
多元函数微分法及其应用 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别
多元函教微分法及其应用 fxx(x,y)=6x+6,fxy(x,y)=0,fyy(x,y)=-6y+6 在点(1,2)处，A=12,B=0,C=-6； AC-B2=12×(-6)=-480,A<0 故在点(-3,2)处，f(-3,2)=31为极大值
多元函数微分法及其应用
多元函数微分法及其应用 例2.讨论函数z=x3+y3及z=(x2+y2)2在点(0,0)是否取得极值。 解：显然(0,0)都是它们的驻点，并且在(0,0)都有AC-B2=0 z=x3+y3在(0,0)点领域内取值 正 可能为负，因此z(0,0)不是极值。 (0 x2+y2≠0时，z=(x2+y2)2>z(0,0)=0 故在点(0,0)处，z(0,0)=0为极小值
多元函数微分法及其应用 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有AC-B2=0
多元函教微分法及其应用 2.最值应用问题 函数f在闭域上连续 依据 函数f在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别，当区域内部最值存在，且只有一个极值点P时， f(P)为极小（大）值f(P)为最小（大）值
多元函数微分法及其应用 2.最值应用问题 依据
多元逐数微分法及其应用 例3.某厂要用铁板做一个体积为2立方米的有盖长方体水箱，问当长、宽、 高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 解：设水箱长，宽分别为x,ym则侧高为二m,则水箱所用材料的面积为： A=2(xy+子+3.x>0,y>0) Ax=2(0y-)=0 4=2(x-)=0 得驻点(V2,2) 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在，因此此唯一驻点就是 最小值点即当长、宽、高均为2时，水箱所用材料最省
多元函数微分法及其应用 例3.某厂要用铁板做一个体积为2立方米的有盖长方体水箱,问当长、宽、 高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
多元函教微分法及其应用 例4.有一宽为24cm的长方形铁板，把它折起来做成一个断面为等腰 梯形的水槽，问怎样折法才能使断面面积最大？ 解：设折起来的边长为xcm,倾角为a,则断面面积为： A=(24-2x+xcosa).xsina D:(0<x<12,0<<2) 24 24-2x
多元函数微分法及其应用 例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成一个断面为等腰 梯形的水槽，问怎样折法才能使断面面积最大？ x 24 24 − 2ᵆ ᵯ