第六讲 隐函数求导法则
多元函数微分法及其应用 第六讲 隐函数求导法则
多元函数微分法及其应用 1.一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1.设函数F(x,y)在点P(xo,yo)的某一邻域内满足 ①具有连续的偏导数： ②FX,yo)=0 ③ F,X,y)≠0 则方程F(x,y)=0在点xo的某邻域内可唯一确定一个 单值连续函数y=f(x),满足条件yo=f(xo),并有连续 导数 dy dx E (隐函数求导公式)
多元函数微分法及其应用 1.一个方程所确定的隐函数及其导数 ① 具有连续的偏导数; ᵃ ( ᵆ 0 , ᵆ 0 ) = 0; ᵃ ᵆ ( ᵆ 0 , ᵆ 0 ) ≠ 0 ② ③ 并有连续 (隐函数求导公式) 的某邻域内可唯一确定一个 导数
多元函教微分法及其应用 设y=fx)为方程F(Xy)=0所确定的隐函数， 则 F(xfx)≡0 两边对x求导 OF oFdy 三0 dx ∂ydx 在(xo,yo)的某邻域内F≠0 dy Fe dx E
多元函数微分法及其应用 ᵃ (ᵆ ,ᵅ(ᵆ )) ≡ 0 设 ᵆ = ᵅ(ᵆ ) 为方程 ᵃ (ᵆ , ) = 0 所确定的隐函数 , 则
多元函数微分法及其应用 若F(x,y)的二阶偏导数也都连续， 则还有 二阶导数： d2 y X dx2 5-5&58(南 X ExxFy2-2Ey Exy+FyyEx2
多元函数微分法及其应用 二阶导数 : ᵆ ᵆ ᵆ 则还有
多元函教微分法及其应用 例1.验证方程siny+ex-xy-1=0在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数并求 ak-0.dik-0 解：令F(x,y)=siny+ex-xy-1,则 ①Fx=e-y,B,=cosy-x连续， X ②F0,0)=0, ③F0,0)=1+0 由定理1可知，在x=0的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数y=f(x),且
多元函数微分法及其应用 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 ᵃ (0,0) = 0, ᵃ ᵆ = ᵅ ᵆ − ᵆ , 连续 , 由 定理1 可知, ᵃ ᵆ (0,0) = 1 ≠ 0 ① 则 ② ③ 并求
多元函数微分法及其应用 Fx ex-y z0k=0osy为 =-1 1x=0,y=0 dx2x=0 d x=0,y=0 (ex-y')(cosy-x)-(ex-y)(-siny.y'-1) X=0 (cosy-x)2 y,=0 y=-1 =-3
多元函数微分法及其应用 = − 1 = − 3 ᵆ = 0 ᵆ = 0 ᵆ ′ = − 1
多元函教微分法及其应用 定理2.若函数F(x,y,2) 满足： ①在点P(xo,yo,Zo)的某邻域内具有连续偏导数， ② F(Xo:yoo)=0 ③F,X,y)+0 则方程F(x,y,z)=0在点(xo,yo)某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数z=f(x,y),满足z0=f(xo,yo), 并有连续偏导数 az Fx ∂z E Ox E
多元函数微分法及其应用 定理2 . 若函数ᵃ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ ) 的某邻域内具有连续偏导数 , 并有连续偏导数 ᵃ ( ᵆ 0 , ᵆ 0 , ᵆ 0 ) = 0 ᵃ ᵆ ( ᵆ 0 , ᵆ 0 , ᵆ 0 ) ≠ 0 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确
多元涵数微分法及其应用 设z=fxy)为方程F(Xy2)=0所确定的隐函数， 则 F(xyfxy))≡0 两边对x求偏导 F+F 0z x 三0 在(Xy2。)的某邻域内F,≠0 联 E E 同样可得 2砂 F F
多元函数微分法及其应用 ᵃ (ᵆ , ,ᵅ(ᵆ , ) ) ≡ 0 ᵃ ᵆ 同样可得 设 ᵆ = ᵅ(ᵆ , ) 为方程 ᵃ (ᵆ , ,ᵆ ) = 0 所确定的隐函数 , 则 + ᵃ ᵆ ≡ 0 在 (ᵆ 0 , ᵆ 0 , ᵆ 0 ) 的某邻域内ᵃ ᵆ ≠ 0
多元函教微分法及其应用 例2.设x2+y2+z2-4z=0,求 02z x2 解：设F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z 则Fx=2x,Fz=2z-4 0z Fx X X ax z-2 -2-z 两边对x求偏导 02z az X x2-2 (2-z)+x0x =2-z)2+x2 0x2 (2-Z)2 (2-z)3
多元函数微分法及其应用 解:
多元函数微分法及其应用 2.方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例，即 F(x,y,u,)=0 u=u(x,y） G(x,y,u,)=0 Iv=v(x,y) 由F、G的偏导数组成的行列式 ∂(F,G) 0(u,v) 称为F、G的雅可比(Jacobi)行列式
多元函数微分法及其应用 2.方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即