第七讲 曲面方程
向量代数与空间解析几何 第七讲 曲面方程
向量代数与空间解析几何 1、曲面方程的概念 引例.求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的轨迹方程. 解：设轨迹上的动点为M(x,y,z)则，AM=|BM 即V(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2 =V(x-2)2+y+1)2+(z-4)2 A 化简得：2x-6y+2z=7 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程， 不在此平面上的点的坐标不满足此方程
向量代数与空间解析几何 1、曲面方程的概念 A B M 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程
向量代数与空间解析几何 定义1. 如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系： (1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程； (2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程， 则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程， 曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形 两个基本问题： (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时，求曲面方程 (2) 已知方程时，研究它所表示的几何形状 (必要时需作图)
向量代数与空间解析几何 定义1. ᵆ ᵆ ᵄ 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程 (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). ᵄ
向量代数与空间解析几何 例1.求动点到定点Mo(xo,yo,z0)距离为R的轨迹方程 解：设轨迹上动点为M(x,y,z),依题意|MoM=R 即V(x-x0)2+(y-yo)2+(z-20)2=R 故所求方程为(x-x0)2+(y-yo)2+(z-Z0)2=R2 特别，当M在原点时，球面方程为 222 2 x+y +z=R z=±VR2-x2-y2 表示上（下）球面
向量代数与空间解析几何 ᵆ ᵆ ᵆ ᵅ ᵄ 表示上(下)球面 . ᵉ ᵽ + ᵉ ᵽ + ᵉ ᵽ = ᵇ ᵽ
向量代数与空间解析几何 例2.研究方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎样的曲面. 解：配方得(x-1)2+(y+2)2+z2=5 此方程表示： 球心为Mo(1,-2,0),半径为v5的球面 说明： 如下形式的三元二次方程(A≠0)》 A(x2+y2+z2)+Dx+Ey+Fz+G=0 都可通过配方研究它的图形.其图形可能是 一个球面，或点，或虚轨迹
向量代数与空间解析几何 解: 配方得 此方程表示: 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹
向量代数与空间解析几何 2.旋转曲面 定义2.一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周， 所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴。 例如：
向量代数与空间解析几何 2. 旋转曲面 定义2. 一条平面曲线,绕其平面上一条定直线旋转一周, 所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴。 例如 :
向量代数与空间解析几何 建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程： 给定y0z面上曲线Cfy,z)=0 若点M1(0,y1,z1)∈C,则有fy1,z1)=0 当绕z轴旋转时，该点转到M(x,y,z), 则有z=z1,√x2+y2=y1l Mxy) M0y2) 故旋转曲面方程为 f(±Vx2+y2,z)=0 X
向量代数与空间解析几何 故旋转曲面方程为 当绕 z 轴旋转时, ᵄ 1 (0,ᵆ 1 , ᵆ 1 ᵄ (ᵆ,ᵆ,ᵆ) ) O
向量代数与空间解析几何 思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？ C:f(y,z)=0 y f(y,±Vx2+z2)=0
向量代数与空间解析几何 ᵅ ᵆ ᵆ ᵆ
向量代数与空间解析几何 例3.试建立顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为 的圆锥面方程， 解：在yoz面上直线L的方程为 M0y,2) z=ycota 绕z轴旋转时，圆锥面的方程为 z=±Vx2+y2cota 令a=cota 两边平方 z2=a2(x2+y2)
向量代数与空间解析几何 ᵆ ᵆ ᵆ 两边平方 ᵃ
向量代数与空间解析几何 例4.求坐标面xoz上的双曲线 -=1 分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 解：绕x轴旋转所成曲面方程为 x2_y2+2=1 a2- c2 绕z轴旋转所成曲面方程为 x2+y2 z a2 21 图1 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 图2
向量代数与空间解析几何 旋转一周所生成的旋转曲面方程. 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 图1 图2