第三讲 多元函数的偏导数
多元函数微分法及其应用 第三讲 多元函数的偏导数
多元函数微分法及其应用 1.偏导数的概念 引例：研究弦在点x处的振动速度与加速度，就是 将振幅u(X,t)中的x固定于x处，求u(心。，t)关于t的 一阶导数与二阶导数 u u(o,t) u(x,t) 0 X
多元函数微分法及其应用 1.偏导数的概念 引例: 就是 ᵆ (ᵆ , ᵆ) ᵆ ᵅ 0 ᵆ ᵆ 求 一阶导数与二阶导数. ᵆ (ᵆ , ᵆ) ᵆ ( ᵆ 0 , ᵆ) ᵆ ( ᵆ 0 将振幅 , ᵆ)
多元函教微分法及其应用 定义1.设函数z=f(x,y)在点(xo,yo) 的某邻域内 极限 lim f(xo +Ax,yo)-f(xo,yo) △X→0 △x 存在，则称此极限为函数之=fxy)在点(Xyo)对x 的偏导数，记为别o,wcw:2小0 f(XVo); 注意： f(XVo) lim f(xo+Ax,yo)-f(xo,yo) df(x,yo) △X→0 △X dx x=x0 f(x。)= lim f(xo+△x)-f(xo) dy △X→0 △X dx =X0
多元函数微分法及其应用 定义1. 存在, ᵆ = ᵅ(ᵆ ,ᵆ ) 在点( ᵆ 0 , ᵆ 0 ) 对ᵆ 的偏导数，记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 ᵅ ′ ( ᵆ 0 ) = ᵅ ᵆ ( ᵆ 0 , ᵆ 0 ) ; ᵅ ᵆ ( ᵆ 0 , ᵆ 0 ) 注意:
多元函数微分法及其应用 同样可定义对y的偏导数 f (xv)=lim f6+a)-fo,W）=f0,2y=n △y→0 △y dy 若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x 或y偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数，也简称为 偏导数，记为 0z x’ .2,1w.ig Oz ay' ,名，f.fg af
多元函数微分法及其应用 ᵅ ᵆ ( ᵆ 0 , ᵆ 0 ) 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , ᵅ ᵆ (ᵆ ,ᵆ ) , ᵅ ′ 1(ᵆ ,ᵆ ) ᵅ ᵆ (ᵆ ,ᵆ ) , ᵅ ′ 2(ᵆ ,ᵆ ) 记为
多元函教微分法及其应用 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数. 例如，三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的 偏导数定义为 f(x +Ax,y,z)-f(x,y,z) fx(x,y,z)=lim X→0 △X f,(xyz)=? (请自己写出) f,(xyz)=?
多元函数微分法及其应用 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . ᵅ ᵆ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ ) = ? 偏导数定义为 (请自己写出) ᵅ ᵆ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ ) = ?
多元函数微分法及其应用 2.二元偏导数的几何意义 x=x0 y=yo y=yo 是曲线 (=f(x,)在点M处的切线 y=yo 对x轴的斜率. d foy x=X0 y=yo y=yo 是曲线 r” 在点M处的切线MT对y轴的斜率
多元函数微分法及其应用 2.二元偏导数的几何意义 是曲线 ᵄ 0 ᵄ ᵆ 是曲线 ᵆ ᵆ ᵆ 0 ᵄ ᵆ ᵅ ᵄ ᵆ ᵆ 0 ᵄ 0 ᵆ
多元函教微分法及其应用 注意：函数在某点各偏导数都存在， 但在该点不一定连续， xy 例如，z=f化，)=x2+y2,x2+y2≠0 0,x2+y2=0 显然 f(0,0)=fx,0)x=0=0 0,0)=F0)=0=0 在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续！
多元函数微分法及其应用 函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如, = 0 = 0 注意： 但在该点不一定连续
多元函数微分法及其应用 2 例1.求=X+3y+y 在点(1,2)处的偏导数. 解法1： 2x+水-3x+2y dz 0z ax(1,2)=21+32=8, yl1,2)=31+2-2=7 2 解法2 :zy=2=X+6x+4 9k2)=2x+6lk=1=8 zx=1=1+3y+y 02 l(1,2)=3+2)y=1=7
多元函数微分法及其应用 例1 . 求ᵆ = ᵆ 2 + 3ᵆᵆ + ᵆ 2 解法1: 解法2: 在点(1 , 2)处的偏导数. 2ᵆ + 3ᵆ , 3ᵆ + 2ᵆ =2⋅1+3⋅2= 8, = ᵆ 2 + 6ᵆ + 4 = 8 =1+ 3ᵆ + ᵆ 2 = 7
多元函教微分法及其应用 例2. 设=x(x>0,且x≠1)， 求证 xOz 1 0z yox Inx 2=2z 证： 0z =yxy-1、 0x z=xy Inx o dy x0Z ,10z yax'Inxay =x+x=2z
多元函数微分法及其应用 例2. 设ᵆ = ᵆ ᵆ (ᵆ > 0, 且ᵆ ≠ 1）， 证: = ᵆ ᵆ + ᵆ ᵆ 求证 = 2ᵆ
多元函数微分法及其应用 基础练习 1.求r=√x2+y2+z2 的偏导数. or 2x 解 x-2√x2+y2+z = r ar Z
多元函数微分法及其应用 1. 求 的偏导数 . 解: = ᵆ ᵅ ᵆ ᵅ , 基础练习