第五讲 正项级数及其审敛法
无 穷 级 数 第五讲 正项级数及其审敛法
无穷级数 1.正项级数的审敛性 00 定理1.（比值审敛法，达朗贝尔判别法）设 >1 n是正项级数 n=1 级数收敛 m+1 p1(或0)，级数发散 定理2.（根值审敛法，柯西判别法）设 u,是正项级数， n=1 p1(或∞)， 级数发散
无 穷 级 数 1.正项级数的审敛性 定理1. (比值审敛法，达朗贝尔判别法) 定理2. (根值审敛法，柯西判别法)
无穷级数 举例 例1.判定下列级数的敛散性， 11, 1 1 1+i+12+123+.+ (m-1)！ 解：因为 lim n+1二Lim (n-1)川 1 n→oo m n→0∞ n! lim=0 n→oo 根据比值判别法，级数收敛
无 穷 级 数 举例 例1. 判定下列级数的敛散性. 解： 根据比值判别法，级数收敛. 因为
无穷级数 举例 例2.判定下列级数的敛散性 1,1·2,1·23 n! 10102 103+.+ 10n+. 解：因为 (n+1)！10n n+1 lim un+i lim lim =00 n→oo un n→o∞ n!10n+1 n→oo 10 根据比值判别法，级数发散
无 穷 级 数 举例 例2. 判定下列级数的敛散性. 解： 因为 根据比值判别法，级数发散
无穷级数 举例 00 2+(-1)” 例3.判定级数 2n 的敛散性， n=1 解：因为 V2+-1)m m2+(-1)"] en 7 limun lim lim n→00 2 n→oo 2 -2 根据根值判别法，级数收敛
无 穷 级 数 举例 例3. 判定级数 的敛散性. 解： 因为 根据根值判别法，级数收敛
无穷级数 2.交错级数的审敛性 定义.设un>0(n=1,2,.,则各项符号正负相间的级数， u1-u2+u3-4+.+（-1)n-1u+.或 -u1+u2-u3+u4+.+(-1)un+. 称为交错级数。 例如： 2+34+.+(-10n-1 1、111 1,11 3 4 +.+(-1)m☑ n+1 十
无 穷 级 数 2.交错级数的审敛性 称为交错级数. 例如：
无穷级数 00 定理3.（莱布尼茨定理）如果交错级数 )(-1)n-1un满足条件， n=1 (1)n≥un+1(n=1,2,3.) (2）limun=0, 那么级数收敛，且其和s≤u1,其余项rn的绝对值|rn≤un+1 证：因为S2m=(u1-2)+(u2-u3)+.+(u2n-u2n-1)≥0 S2n=u1-(u2-u3)-.-(u2n-2-u2n-1)-u2n≤u1 所以S2n}是单调递增的有界数列，limS2n=s≤u1: m00
无 穷 级 数 定理3. (莱布尼茨定理) 证：
无穷级数 又因为limS2n+1=lim(S2n+u2n+1), =limS2n=S≤u1 n→o limun=0 lim uzn+1=0, 11-→00 n-→00 余项rn=S-Sn=士(n+1-un+2+.) lrnl=lS-Snl=unt1-un+2+.≤un+1· 00 思考：莱布尼茨级数 ∑(-1m-1un收敛，∑u收敛吗？ n= n=1
无 穷 级 数 思考：
无穷级数 举例 例4.判定下列级数的敛散性 - 00 00 n=1 n=1 1 11 解：(1)：mn=0,wn-山+1=nn+1>0 n→oon “级数为莱布尼茨级数收敛， 1 1 2):mi=0,M.-wa1=元n+>0 n→oon! ·级数为莱布尼茨级数收敛
无 穷 级 数 举例 例4. 判定下列级数的敛散性. 解:
无穷级敛 基础练习 1. 下列哪个级数是发散的？ (B) A. n=1 n+1 / c (-10-m1+7 n=1 00 D 10n n=1
无 穷 级 数 基础练习 1. 下列哪个级数是发散的？ √ (ᵆ )