第四讲 平面方程
向量代数与空间解析几何 第四讲 平面方程
向量代数与空间解析几何 1、平面的点法式方程 设一平面通过已知点M(Xy。) 且垂直于非零向量 n=(A,B,C),求该平面的方程， 任取点M(x,y,z)∈Ⅱ，则有MoM⊥元 故MM.元=0 MoM=(x-Xy-yz-z） A(x-x)+B(y-y)+C(z-Z)=0 ① 称①式为平面的点法式方程， 称为平面法向量
向量代数与空间解析几何 1、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 ᵄ 0 ( ᵆ 0 , ᵆ 0 , ᵆ 0 ) 且垂直于非零向量 求该平面的方程. ᵯ ᵆ ᵆ ᵆ ᵄ 0 则有 ᵄ 故 (ᵆ − ᵆ 0 , − ᵆ 0 ,ᵆ − ᵆ 0 ) ᵃ (ᵆ − ᵆ 0 ) + ᵃ (ᵆ − ᵆ 0 ) + ᵃ (ᵆ − ᵆ 0 ) = 0 称①式为平面的点法式方程, ①
向量代数与空间解析几何 例1.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面的方程 解：取该平面的法向量为 i=M1M×M1M3 i -3 4 -6 -2 3 =(14,9,-1) 利用点法式得平面的方程 即 14(x-2)+90y+1)-(2-4)=0 14x+9y-z-15=0
向量代数与空间解析几何 = (14, 9, − 1) 14(ᵆ − 2) + 9(ᵆ + 1) − (ᵆ − 4) = 0 14ᵆ + 9ᵆ − ᵆ − 15 = 0 即 ᵄ 1 ᵄ 2 ᵄ 3 解: 取该平面的法向量为 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 − 2 3 − 1 − 3 4 − 6
向量代数与空间解析几何 说明：此平面的三点式方程也可写成 x-2y+1z-4 -3 4 -6 =0 -2 3 一般情况：过三点Mk(Xky乙k)(k=1,2,3) 的平面方程为 x-x1 y-y1 Z-Z1 x2-x1y2-y1 Z2-Z1 =0 x3-X1 y3-y1Z3-z1
向量代数与空间解析几何 此平面的三点式方程也可写成 ᵆ − 2 ᵆ + 1 ᵆ − 4 说明: 一般情况 : 过三点 ᵄ ᵅ ( ᵆ ᵅ , ᵆ ᵅ , ᵆ ᵅ ) (ᵅ = 1,2,3) 的平面方程为
向量代数与空间解析几何 特别，当平面与三坐标轴的交点分别为 P(a,0,0),Q(0b,0),R(0,0,c) 时，平面方程为 +y+z=1 (abc +0) y a b c X 此式称为平面的截距式方程
向量代数与空间解析几何 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. ᵄ (ᵄ ,0,0) , ᵄ (0,ᵄ ,0) , ᵄ (0,0,ᵅ ) ᵆ ᵄ + ᵆ ᵄ + ᵆ ᵅ = 1 时, (ᵄ ,ᵄ ,ᵅ ≠ 0) 平面方程为 ᵅ ᵆ ᵆ ᵆ
向量代数与空间解析几何 分析：利用三点式 X-Q y z -a b =0 -a 0c/ 按第一行展开得(x-a)血-y(-a)c+2b=0 即+四y+d拉=
向量代数与空间解析几何 (ᵆ − ᵄ )ᵄᵅ − ᵆ ( − ᵄ )ᵅ+ ᵆᵄᵄ = 0 ᵄᵅᵆ + ᵄᵅᵆ + ᵄᵄᵆ = ᵄᵄᵅ 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 ᵆ − ᵄ ᵆ ᵆ − ᵄ ᵄ 0 − ᵄ 0 ᵅ
向量代数与空间解析几何 基础练习 1.已知平面π的法向量为={1,2,3}，平面上 一点P0=(0,2,3),则平面π的方程为（A) A.X+2(y-2)+3(z-3)=0 B.X+2(y+2)+3(z-3)=0 C.x+2(y+2)+3(z+3)=0 D.x-2(y-2)-3(z-3)=0
向量代数与空间解析几何 基础练习 A
向量代数与空间解析几何 2.平面的一般方程 设有三元一次方程 2 2 A+++D=0 (A+B+C+0) ② 任取一组满足上述方程的数Xy子。，则 AX。+By。+C2。+D=0 以上两式相减，得平面的点法式方程 A(x-X)+B0y-y)+C(z-2)=0 显然方程②与此点法式方程等价，因此方程②的图形是 法向量为元={A,B,C)的平面，此方程称为平面的一般方程
向量代数与空间解析几何 2.平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般方程. ᵃᵆ + ᵃᵆ + ᵃᵆ + ᵃ = 0 任取一组满足上述方程的数 ᵆ 0 , ᵆ 0 , ᵆ 0 , 则 ᵃ (ᵆ − ᵆ 0 ) + ᵃ (ᵆ − ᵆ 0 ) + ᵃ (ᵆ − ᵆ 0 ) = 0 ᵃ ᵆ 0 + ᵃ ᵆ 0 + ᵃ ᵆ 0 + ᵃ = 0 显然方程②与此点法式方程等价, ( ᵃ 2 + ᵃ 2 + ᵃ 2 ≠ 0) ② 的平面, 因此方程②的图形是
向量代数与空间解析几何 X+B+G+D=04+B2+C2+0) 特殊情形 ·当D=0时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面； ·当A=0时，By+Cz+D=0的法向量 元=(0，B,C)⊥i,平面平行于x轴； ·Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面； ·Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面；
向量代数与空间解析几何 特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 ᵃᵆ + ᵃᵆ + ᵃᵆ + ᵃ = 0 ( ᵃ 2 + ᵃ 2 + ᵃ 2 ≠ 0) 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面;
向量代数与空间解析几何 A++G+D=0 4+B2+C+0 特殊情形 ·Cz+D=0表示平行于x0y面的平面； ·Ax+D=O表示平行于y0z面的平面； ·By+D=0表示平行于Ox面的平面
向量代数与空间解析几何 特殊情形 ᵃᵆ + ᵃᵆ + ᵃᵆ + ᵃ = 0 ( ᵃ 2 + ᵃ 2 + ᵃ 2 ≠ 0) • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D =0 表示 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面