第十一章 曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分 第十一章 曲线积分与曲面积分
第二讲 对坐标的曲线积分的概念与性质
曲线积分与曲面积分 第二讲 对坐标的曲线积分的概念与性质
曲线积分与曲面积分 1.对坐标的曲线积分的概念 引例1：变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 B F(x)=(P(xy),Q(xy)) 在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B, X 求移动过程中变力所作的功W. 解决办法： 变力沿直线所作的功 "大化小 W=FAB|coSθ “常代变 =F·B "近似和 "取极限
曲线积分与曲面积分 1.对坐标的曲线积分的概念 引例1: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 ᵃ ᵃ ᵃ ᵆ ᵆ 求移 “大化小 ” “常代变 ”“近似和 “” 取极限 ” 变力沿直线所作的功 解决办法: = ᵃ ⋅ ᵃᵃ ᵃ ᵃ ᵃ ᵰ ᵃ (ᵆ ,ᵆ ) = (ᵄ (ᵆ ,ᵆ ), ᵄ (ᵆ ᵆ, ))
曲线积分与曲面积分 1)“大化小” 把L分成n个小弧段，F沿Mk-1Mk 所做的功为4W,则 B Mk- △Wk △Xk 2)“常代变 X 有向小弧段MRMx用有向线段Mk-1M:=(么Xk,△y) 近似代替，在M-1Mk上任取一点传，”，则有 △Wk≈F(ξk,k)·Mk-1Mk =P信k,nk△Xk+Q5k,Ik)△yk
曲线积分与曲面积分 ᵄ ᵅ ᵃ ᵃ ᵆ ᵆ 1) “大化小”. 2) “常代变 ” ᵃ 有向小弧段 = (ᵮ ᵆ ᵅ , ᵮ ᵆ ᵅ ) 近似代替, ( ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ ), 则有 = ᵄ ( ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ )ᵮ ᵆ ᵅ + ᵄ ( ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ )ᵮ ᵆ ᵅ 所做的功为 ᵮ ᵄ ᵅ , F 沿 ᵃ ( ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ ) 则 用有向线段 在 上任取一点 ᵮ ᵆ ᵅ ᵮ ᵆ ᵅ
曲线积分与曲面积分 3)“近似 和” 2 w≈∑[P(5K)Axk+Q(5,k)Ay] k=1 4 “取极限 n W lim →0 [P(Ek,nk)Axk+Q(k,nk)Aykl k=1 F R) (其中λ为n个小弧段的 y B 最大长度) △X X
曲线积分与曲面积分 3) “近似 和” 4) “取极限 ” ᵄ ᵅ ᵃ ᵃ ᵆ ᵆ ᵃ ᵃ ( ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ ) ᵮ ᵆ ᵅ ᵮ ᵆ ᵅ
曲线积分与曲面积分 定义1.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑 弧，在L上定义了一个向量函数 F(xy)=(P(xy),Q(xy)) 若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点，极限 >[P(5k.ng)Axk +Q(5k,n)Aykl 化=1 记作 p(x.y)dx+Q(xydy 都存在，则称此极限为函数Fxy) 在有向曲线弧L上 对坐标的曲线积分，或第二类曲线积分.其中，P(X), Q(Xy)称为被积函数，L称为积分弧段或积分曲线
曲线积分与曲面积分 定义1. 弧, 都存在, 对坐标的曲线积分, 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中,ᵄ (ᵆ ,ᵆ ), 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 极限 ᵃ (ᵆ ,ᵆ ) = (ᵄ (ᵆ ,ᵆ ), ᵄ (ᵆ ,ᵆ )) 记作 ᵃ (ᵆ ,ᵆ ) ᵄ (ᵆ ,ᵆ )
曲线积分与曲面积分 PG.)dx P(5k,Ik)△xk,称为x的曲线积分； k=1 2 ∫Qx,)dy= Q(5k,Ik)△yk,称为对y的曲线积分. k=1 若记ds=(dx,dy)，对坐标的曲线积分也可写作 ∫厂E.as=Px,dx+Qx)dy 类似地，若为空间曲线弧，记d=(dx,dy,dz) E(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,2)) JF=P@.y.)dx+Q(y.)dy+R(x.y.dz
曲线积分与曲面积分 若 为空间曲线弧 , 记 若记 , 对坐标的曲线积分也可写作 类似地
曲线积分与曲面积分 性质 (1)若L可分成k条有向光滑曲线弧L,（i=1,.k), 则 P(xy)dx+Q(x,y)dy =∑fpox.ndx+Q@.ydy -1 (2)用L·表示L的反向弧，则 Pdx+Qdy-Pdx+Q 说明： ·对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向！ ·定积分是第二类曲线积分的特例
曲线积分与曲面积分 性质 ᵃ ᵅ ( ᵅ = 1, ⋯ ,ᵅ ), 则 • 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
曲线积分与曲面积分 2.对坐标的曲线积分的计算法 定理：设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且 连续，L的参数方程为 亿=8ta→只，则线积分 存在，且有 P(x,y)dx+Q(x,y)dy {P[φ(t),ψ(t)]φ(t)+Q[p(t),(t]Ψ(t)d
曲线积分与曲面积分 2.对坐标的曲线积分的计算法 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 ᵆ:ᵯ →ᵯ , 则曲线积分 ᵱ ′ (ᵆ) ᵱ ′ + ᵄ [ᵱ (ᵆ), ᵱ (ᵆ)] (ᵆ)}ᵅᵆ 连续, 存在, 且有
曲线积分与曲面积分 例1.计身ydx,其中L为沿抛物线y=x从点 A(1,-1)到B(1,1)的一段 解法1取x为参数，则L:D+B B(1,1) A0y=-Vx,x:1→0 0B:y=Vx,x:0→1 y=-vx x A(1,-1) =x(-网dx+xvdx [x2dx= 4
曲线积分与曲面积分 例1. 计算 其中L 为沿抛物线 ᵆ 2 = ᵆ 解法1 取 x 为参数, 则 ᵃ : ᵃᵄ + ᵄᵃ 从点 的一段. ᵃ (1,1) ᵃ (1, − 1) ᵅ ᵆ ᵆ