第八讲 曲面方程
向量代数与空间解析几何 第八讲 曲面方程
向量代数与空间解析几何 1、柱面 22 引例.分析方程x+y=R表示怎样的曲面. 22 解：在xoy面上，x+y=R2表示圆C, M 在圆C上任取一点M1(Xy,O),过此点作M(Xy,z) M y 平行z轴的直线礼，对任意Z的坐标也满足方程 xtV=R' 沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面 其上所有点的坐标都满足此方程，故在空间 x +y=R2 22 表示圆柱面
向量代数与空间解析几何 1、柱面 ᵆ ᵆ ᵆ 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程， 故在空间 对任意 z 表示圆柱面 ᵄ 1 其上所有点的坐标都满足此方程, ᵆ 2 + ᵆ 2 = ᵄ 2 ᵆ 2 + ᵆ 2 = ᵄ 2 ᵆ 2 + ᵆ 2 = ᵄ 2 ᵆ 2 + ᵆ 2 = ᵄ 2
向量代数与空间解析几何 定义1.平行定直线并沿定曲线C移动的直线1形成 的轨迹叫做柱面。C叫做准线，1叫做母线. y2=2x表示抛物柱面， 母线平行于z轴： 准线为xoy面上的抛物线， 兰+片=1，表示母线平行于 z轴的椭圆柱面. x一y=1表示母线平行于 z轴的平面、 (且z轴在平面上) X
向量代数与空间解析几何 ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ ᵆ 定义1. 的轨迹叫做柱面. 表示母线平行于 ᵆ ᵆ ᵆ ᵈ
向量代数与空间解析几何 一般地，在三维空间 方程F(x,y)=0表示柱面， 母线平行于z轴： 准线xoy面上的曲线l7 方程G(y,z)=0表示柱面， 母线平行于x轴： 准线yoz面上的曲线l2 方程H(z,x)=0表示柱面， 母线平行于y轴： 准线x0z面上的曲线l3
向量代数与空间解析几何 一般地,在三维空间 ᵆ
向量代数与空间解析几何 2.二次曲面 三元二次方程 Ax'+By+CZ+y++J=0 2 (二次项系数不全为0) 的图形通常为二次曲面.其基本类型有： 椭球面、抛物面、双曲面、推面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程，下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍· 研究二次曲面特性的基本方法：截痕法
向量代数与空间解析几何 2.二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 ) ᵃ ᵆ 2 + ᵃ ᵆ 2 + ᵃ ᵄ 2 + ᵃᵆᵆ + ᵃᵆᵆ + ᵃᵆᵆ + ᵃᵆ + ᵃᵆ + ᵃᵆ + ᵃ = 0
向量代数与空间解析几何 1.椭球面 x2 22 a2 b2 c2=1(ab,c为正数) Z (1)范围： Ixl≤alyl≤b,lzl≤c (2)与坐标面的交线：椭圆 ,z2 22 c2 1 y=0
向量代数与空间解析几何 1. 椭球面 (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆
向量代数与空间释析几何 x2,y2 2 2+ 2+c2 =1 (abc ，为正数) (3)截痕：与z=z1(z1<c)的交线为椭圆： x2 y2 ce-）e2-z =1 之=2， 同样x=x1(x1|≤a)及y=y1(ly1|≤b) 的截痕也为椭圆！ (4)当α=b时为旋转椭球面；
向量代数与空间解析几何 与 的交线为椭圆： ᵆ = ᵆ 1 的截痕也为椭圆. (3) 截痕: (ᵄ ,ᵄ ,ᵅ 为正数)
向量代数与空间解析几何 2.抛物面 (1)椭圆抛物面 2 -三Z 2p 2q (2)双曲抛物面（鞍形曲面） +三z(p,q同写 2p
向量代数与空间解析几何 2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面 (2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
向量代数与空间解析几何 3.双曲面 (1)单叶双曲面 x2,y2 z2 a2+b2-c2=1(a,b,c为正数) 平面z=z1上的截痕为椭圆 平面y=y1上的截痕情况： 1)y1|<b时，截痕为双曲线： =1 y12 b2 (实轴平行于x轴； 虚轴平行于z轴) y=y
向量代数与空间解析几何 3. 双曲面 (1)单叶双曲面 . , 截痕为双曲线: ᵆ = ᵆ 1 上的截痕情况:
向量代数与空间解析几何 2)y1=b时，截痕为相交直线： X±2=0 a c y=b(或-b) 3)y<b时，截痕为双曲线： c21、h2 b2 (实轴平行于z轴 y=y, 虚轴平行于x轴)
向量代数与空间解析几何 时, 截痕为相交直线： ᵆ ᵄ ±ᵆ ᵅ = 0 ᵆ = ᵄ (或 − ᵄ ) 时, 截痕为 (实轴平行于z 轴 ; ᵆ = ᵆ 1 双曲线: